§4  高阶微分方程与微分方程组

一、 高阶微分方程与微分方程组的互化

    已给一个n阶方程

y1=y,y2=y',y3=y",,yn=y(n-1),那末解上面n阶微分方程就相当于解下面n个一阶微分方程的方程组

式中y1,y2,,yn看作自变量xn个未知函数.

    反过来,在许多情况下,已给n个一阶微分方程的方程组也可以化为一个n阶微分方程.比如,两个一阶微分方程的方程组

                             (1)

将方程(1)x求导数

记作

                                       (2)

从方程(1)中解出y2

代入方程(2)的右边,就得到一个二阶微分方程

这里函数由函数f1f2所确定,因而是已知的.所以两个一阶微分方程组可以化为一个二阶微分方程.