§3  拉普拉斯变换

    [拉普拉斯变换及其反演公式]  的拉普拉斯变换

               (s是复数,s=)

    拉普拉斯变换的反演公式

                 

积分沿着任一直线Res=来取,的增长指数,同时,积分理解为在主值意义下的.

    [拉普拉斯变换的存在条件]  如果满足下面三个条件,那末它的拉普拉斯变换存在.

(i)             实变量的复值函数上除掉有第一类间断点(在任一有限区间上至多有有限多个)外连续;

(ii)           t<0时,=0;

(iii)          是有限阶的,也就是说可以找到常数A>0,使得

                            

这里数称为的增长指数,是有界函数时,可取=0.

    如果满足上面三个条件,那末L ( s )是半平面Res>上的解析函数.而反演公式在 的连续点处成立.

[拉普拉斯变换的性质]

            (a是常数)

               (a,b是常数)

        

式中

              

称为函数g ( t )的褶积(或卷积).

[拉普拉斯变换的主要公式表]

             

  拉普拉斯变换后的函数

           

   

 

         n阶导数)

 

     n重积分)

 

 

 

 

  f ( n )( t )         

   

 

 

 

 

             

  拉普拉斯变换后的函数

           

 

         

  ()msnL(m)(s)

 

 

    n重积分)

 

 

 

 

 

  f ( t2 )

 

  t v-1f(t)            (Rev >)

 

 

 

 

   L (ln s)

        

 

 

 

 

[拉普拉斯变换表]

              

          

拉普拉斯变换表I

(已知函数查其拉普拉斯变换用此表方便)

f ( t )

L ( s )

1

               ( c>0 )

e �C c s

1

t

t n             

            

t v                ( Re v >)

        (a> 0 )

   

     

               (a> 0 )

           (a> 0 )

            (a> 0 )

            ( > 0 )

(a>0)

( 2t + t2 ) v     ( a>0, Re v>)

                        

             ( a > 0 )

           ( a > 0 )

             ( a > 0 )

            ( a > 0 )

          ( a > 0 )

           ( a > 0 )

           ( a > 0 )

             ( a > 0 )

             ( a > 0 )

ea t

        

tea t

      

t nea t         

     

t vea t            ( Re v > )

     

      

            ( a > 0 )

               ( a > 0 )

 

              ( a > 0 )

  

             ( a > 0 )

              

               ( a > 0 )

               ( a > 0 )

         

         

               ( a > 0 )

               ( a > 0 )

 

                           

        

  

                            

          ( Re v > -1 )

          ( Re v > )

                  

              

         

         

  

  

 

           

          

       ( a > 0 )

       ( a > 0 )

  

       ( a > 0 )

       ( a > 0 )

   

            

            

           

 

 

 

 

 

 

 

 

ln t

         (为欧拉常数)

    

      

erf (at)      ( a>0 )

      ( a> 0 )

 

     ( a> 0 )

      ( a> 0 )

     ( a> 0 )

      ( Re v >-1 )

        

      ( Re v > 0 )

        

    ( Re v > -2 )

   ( Re v > -1 )

       ( Re v > -1 )

              

 ( Re v > -1 )

   

拉普拉斯变换表 II

(已知函数的拉普拉斯变换查其原来函数用此表方便)

L ( s )

f ( t )

   

   

      不等)

 

     

 

 

 

   

 

    

    

   

    

  

  

      

     

        

      

  

 

 

  ()

    [二重拉普拉斯变换及其反演公式]

    函数f (x ,y)的二重拉普拉斯变换为

    二重拉普拉斯变换的反演公式为

其中.