第十章 复变函数

本章研究的对象是定义在复数域上的复值函数(简称复变函数).重点研究一类比较特殊的复变函数——解析函数.主要内容包括解析函数的分析属性(微积分理论及级数表示)、几何性质(保角映射)等.

§1 解析函数

一、复变函数基本概念与复变函数的导数   

    [单值函数与多值函数]  Σ是扩充复平面(即包含无穷远点∞的平面)z上的一个区域(第二十一章§5,二),对于Σ内的每个复数z,按照一定的规律,有一个或多个复数ω和它对应,就称在Σ上定义了一个复变函数,记作

区域Σ称为函数的定义域.

    如果每一个复数z都只有一个复数ω和它对应(允许不同的复数z对应于同一个复数ω),就称函数是单值的;如果有的复数z有多个ω值和它对应,就称函数是多值的.下面如果不加说明,一律都指单值函数.

    [映射·象·原象]  如果复数z用复平面z(简称z平面)上的点表示,复数ω用复平面ω(简称ω平面)上的点表示,那末复变函数就是z平面上区域Σ的点和ω平面上的某个点集(第二十一章§3,一)F的点之间的对应关系.这样一来,复变函数可以看成几何上的“映射”(变换)(第二十一章§1,二),点ω)称为点z的象(象点),点z称为点ω的原象(象源).一般地,当点z在复平面z上画出一个图形A(或点集)时,相应地,它的象点ω在复平面ω上就画出一个图形(或点集)B.BA的象,AB的原象.称函数A映上B.

[单叶函数与多叶函数·反函数]  如果函数在点集A上单值的,并且对于点集A上的任意两个不同的点z1z2,它们的象ω1=f(z1)和ω2=f(z2)也不同,那末称函数在点集A上是单叶的,如果点集A上至少有两个不同的点z1z2使,那末称函数在点集A上是多叶的.

    如果单值函数又是单叶的,它就表示AB的点之间的一对一对应关系,并且对于B上的每一点ωA上有一个且只有一个点z和它对应.记作

                  

它称为函数的反函数(单值的).

    如果函数在点集A上不是单叶的,那末它的反函数就是多值的了.

    [双方单值连续的映射定理]  ω=f(z)是z平面区域Σ内的单值连续函数,如果它又是单叶的,那末Σ的象Δ仍是一个区域,而且反函数在Δ内连续.这种双方单值连续的映射称为拓扑映射或同胚映射.

    [复变函数的极限]  z0是函数f(z)的定义域内的一点,如果对任意小的正数ε,都存在一个正数,使得对于任意满足条件�O的复数z(复数z0本身可能除外),都有

 

那末复数A(有限或无限)称为函数ω=f(z)当z趋于z0时的极限,记作 

    [复变函数的连续性与一致连续性]  z0是函数f(z)的定义域内的一点,如果函数ω=f(z)当zz0时极限存在有限,而且同时满足

那末称函数ω=f(z)在点z0是连续的,如果函数ω=f(z)在区域Σ上每一点都连续,称函数ω=f(z)在区域Σ上是连续的.

    如果对于任意小的正数ε,都存在一个正数δ=δ(ε),使得区域Σ内满足条件的任意两点z1z2,都有

�O

那末称函数f(z)在Σ上一致连续.

    函数在区域Σ上一致连续,一定在Σ上连续,反过来,函数在区域Σ上连续,不一定保证函数在Σ上一致连续.但是,如果Σ是有界闭区域(记作),那末上的连续性和一致连续性就等价了.同时,有界闭区域上连续函数ω=f(z)还有类似于微分学中闭区间上连续函数的另外两个性质:

    1o   如果函数ω=f(z)在有界闭区域上连续,那末存在一个正数M,使得对于上所有的z,都有

�O

    2o    如果函数ω=f(z)在有界闭区域上连续,那末函数f(z)的模上可以达到最大值和最小值,也就是说,在上有两点z1z2,使得对于上所有的z,都有

            �O �O

    [复变函数的导数]  设函数ω=f(z)定义在区域Σ上,z0Σ内的一点,如果极限

存在,而且有限,那末这个极限值就称为函数f(z)在点z0的导数,记作

并且称函数在点可微(单演、全纯).

    复变函数可微的定义与实变函数可微的定义在形式上是一样的,因此复变函数的求导数的一些法则、公式与实变函数的求导数的一些法则、公式在形式上也是一样的.但是另一方面,由于在复变函数的可微性定义中,动点z趋于z0点是在平面上,方式是任意的,它可沿任一曲线趋于z0,这表明复变函数可微的条件比实变函数可微的条件要求高,从而带来复变函数论不少独特的性质和应用.

    [复变函数的导数的几何意义(伸缩系数与旋转角)]  z平面上通过z0的曲线C,经过映射ω=f(z)(可微)的象是ω平面上通过的曲线,如果那末

    1o�O称为映射ω=f(z)在z0的伸缩系数,它等于曲线上通过ω0的无穷小弦长与曲线C通过z0的无穷小弦长之比的极限,它与曲线C和曲线的选择无关;

2o   称为映射ω=f(z)在z0的旋转角,如果把z平面与ω平面迭放在一起,使点z0与点ω0重合,x轴与u轴平行且正方向相同,那末就等于曲线Cz0的切线到曲线在对应点ω0的切线所转过的角度,它与曲线C和曲线的选择无关.