第八章         矢量算法与场论初步·张量

算法与黎曼几何初步

    本章包括两个部分.        

第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有:矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示;以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质,以及它们在不同坐标系中的表达式;叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式);引进了仿射坐标系,阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量,同时把这些概念推广到n维空间中去.

第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法,然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如,仿射联络、矢量和张量的平行移动,及协变微分法与自平行曲线等;并在n维空间中引进度量的概念,来定义黎曼空间,从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络,于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是,因为黎曼空间是由度量定义的,所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.

                          §1   矢量算法

一、 矢量代数

    [矢量概念]  只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.

    具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量.

    在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度表示大小,用端点的顺序AB表示方向.A称为始点,B称为终点,这个矢量记作,或用黑正体字母a表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值,用记号|a|表示.

    矢量按其效能可分成三种基本类型:

    具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶.

    沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力.

    作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.

    在这里所讨论的矢量,除特别说明外,都指自由矢量,就是说,所有方向相同,长度相等的矢量,不管始点如何,都看作相同的矢量.

    模等于1的矢量称为单位矢量.

    模等于零的矢量称为零矢量,记作,它是始点和终点重合的矢量.

    模与矢量的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量,记作-a.

点与原点O重合而终点位于一点M的矢

(8.1)称为点M的矢径(或向径),记作

r原点称为极点.如果M的直角坐标为xyz ,

则有

        r(xyz)xiyjzk

式中ijk分别为x轴,y轴,z轴的正向单位

矢量,称为坐标单位矢量(或基本矢量).

[矢量的基本公式]

         

            

           

  矢量a的坐标表示

  坐标单位矢量ijk

的坐标表示

  零矢量的坐标表示

  a的长度(或模)

  a的方向余弦(,,

a的方向角)

  矢量(两端点 A

的坐标分别为( ax,ay,az),

(bx,by,bz)

  aaxiayjazk(ax, ay, az)

  i(1,0,0)

  j(0,1,0)

  k(0,0,1)

  0(0,0,0)(0无方向)

  = a

 

  (bxax)i(byay)j

       (bzaz)k

    [加法]  a(ax,ay,az)b(bx,by,bz),则

ab=( axbx,ayby,azbz)


把矢量的始点移到原点 O ,以 a b 为边作平行四边行,由原点作出的对角线就表示和矢量 a b ( 称为平行四边形法则,见图 8.2); 或者把二矢量首尾相接 , 由始点到终点的矢量即为和矢量 a +b( 称为三角形法则,见图8 .3).
加法运算适合如下规律:

                             (交换律)

                     (结合律)

    aaaa(a)

    [减法]  a(ax,ay,az)b(bx,by,bz),则

              ab(axbxaybyazbz)

把矢量b的负矢量与矢量a相加,得矢量ab

(8.4).

    对任意两个矢量ab成立三角形不等式:

                          |ab||a||b|

    [数乘]  以实数乘矢量a称为数乘,记作a.>0时,a的模伸缩倍,方向保持不变;当<0时,a的模伸缩||倍,而方向与a相反(8.5),如果a=(ax,ay,az)

a(ax, ay, az)

为两实数,ab为两矢量,则数乘运算适合

下列规律:

(a)()a           (结合律)

()aaa       (分配律)

(ab)ab         (分配律)

    [矢量的分解]

    1   abc为三个共面的矢量,而bc为非共线矢量,如果把它们移到公共始点,由矢量c的终点C作两条平行于ab 

直线,各交ab(或延长线)(图8.6),则

c+= ab

这称为矢量cab的分解.

    2   abc 为非共面矢量,而d为任一矢量,把

它们移到公共始点,由矢量d的终点D作三个平面分别

平行于(bc)平面,(ca)平面和(ab)平面,且与abc(或延长线)分别交于(8.7),则

        d++ab   

称为矢量dabc的分解.

    3   如果两个非零矢量ab有线性关系

              ab

式中, 不全为0,则称这两个矢量共线(

a//b);反之也真.称这两个矢量ab为线性相关.

    4   a,b为两个非零矢量,若ab ,则有=0,=0,这时称ab为线性无关.

    5   若三个非零矢量abc有线性关系ab,式中不全为零,则这三个矢量共面,反之也真.这时,称abc为线性相关.如果abc为三个非零矢量,而ab,则有=0,这时,abc为线性无关.

    6   四个(或四个以上)矢量abcd必有线性关系;就是说它们一定线性相关.这时,必有不全为0的四个数,成立abd.

    [标量积(数量积、点积、内积)  a(ax, ay, az)b(x,y,z)|a|a|b|bab两矢量的夹角为,则称数值ab cos为矢量ab的标量积(也称为数量积、点积或内积).记作

     a·babab cos()

可以看作矢量a的长度乘以矢量ba上的投影的长度(8.8).

    标量积运算适合以下的规律:

a·bb·a                   (交换律)

a·(bc)a·ba·c         (分配律)

(a)·(b)a·b   (数乘的结合律)

a·aa|a|a

ab为非零矢量,a·b=0,则ab;反之也真.

i·ij·jk·k1i·jj·kk·i=0

a·baxbxaybyazbz                            (即对应坐标相乘之和)

    [矢量积(叉积、外积)a(ax,ay,az)b(bx,by,bz)|a|a|b|bab两矢量的夹角为,则定义a×b为两矢量的矢量积(也称为叉积或外积),它是一个矢量,即长度等于以ab为边的平行四边形的面积(8.9阴影部分)

         |a×b|ab sin        ()

它的方向垂直于两矢量ab,并且aba×b构成

右手系(8.9).

矢量积运算适合下列规律:

a×b=-b×a          (反交换律)

(a+b)×ca×cb×c   (分配律,次序不能交换)

(a)×(b)(a×b)

[()a]×b()(a×b)(a×b)(a×b)

a×a

    ab为非零矢量,则ab共线(a//b)的充分必要条件是:

a×b=0

i×ij×jk×ki×jkj×kik×ij

a×b(ay bz- az by)i+( az bxax bz)j+( ax byay bx)k

    [两矢量的夹角]

cos(ab)

sin(ab)

    [拉格朗日恒等式]

(a×b)·(c×d)(a·c)(b·d)(a·d)(b·c)

特别                 (a×b)2=a2b2(ab)2

                   (ay bx- az by)2+( az bxax bz)2+( ax byay bx)2

                     (ax2+ay2+az2)(x2+by2+bz2)(axbx+ayby+azbz)2

    [三个矢量的混合积]  a(ax,ay,az)b(bx,by,bz)c(cx,cy,cz)为三个矢量,则它们的混合积定义为

(abc)a·(b×c)ax(byczbzcy)ay(bzcxbxcz)az(bxcybycx)

    混合积具有性质:

    1  a·(b×c)(a×b)·c

    注意,一般情况下等式

(a·b)·c =a·(b·c)

(a×b)×c =a×(b×c)

不成立.

    2  (abc)(bca)(cab)=(acb)=(bac)=(cba)

即有轮换性:

a·(b×c)b·(c×a)c·(a×b)=-a(c×b)=-b(a×c)=-c(b×a)

    3  混合积(abc)是一个数,它的绝对值等于以abc为边的平行六面体的体积.

    4  三个矢量共面的充分必要条件是:(abc)0.

    [三重矢积]

a×(b×c)(a·c)b(a·b)c

(a×b)×c(a·c)b(b·c)a

采用abc轮换法还可推出其余两个同类公式.

    [多重积的几个公式]

a×(b×c)b×(c×a)c×(a×b)=0

(a×b)·(c×d)(a·c)(b·d)(a·d)(b·c)

(a×b)×(c×d)(abd)c(abc)d(cda)b(cdb)a

a×[b×(c×d)](b·d)(a×c)(b·c)(a×d)

(a×b  b×c  c×a)(abc)

(aaa)(bbb)

(a×b  c×d  e×f)(abd)(cef)(abc)(def)