§11   可展曲面

       [单参数曲面族的包络面]

   

   

  包络面  与曲面族Sλ的所有曲面相切的曲面称为Sλ的包络面.

    线  Sλ中两个临近曲面的交线的极限位置称为Sλ的特征线,特征线的包络(如果存在)称为族Sλ的脊线

    [单参数平面族的包络面]

  可展曲面  单参数平面族的包络面称为族的可展曲面.包络面是空间曲线的切线所构成的曲面、锥面或柱面(图(a),(b),(c)

单参数平面族方程为

  ra(λ)+p(λ)=0λ为参数)

其包络面满足方程组

 

式中为平面族的法矢量

    线  平面族中两个邻近平面的交线的极限位置称为族的特征线,特征线的包络(如果存在)称为族的脊线,它把包络面分为两叶,以脊线作为曲面的“尖锐的梭边”(图(d)

  脊线满足方程组

 

      一条空间曲线C的法面的包络面称为C的配极可展曲面,它是曲率轴(即通过曲率中心并平行于副法线)的轨迹.脊线的方程为

                            

式中为曲线C的曲率半径,为曲线C的挠率半径,

[空间曲线的渐开线与渐屈线]

定义与性质

方程与图形

  渐开线  在一条空间曲线r(s)的可展曲面上与曲线r(s)正交的曲线称为r(s)的渐开线.

  沿r(s)的切线上两条渐开线之间的距离保持不变(右图)

   c为常数)

     

  渐屈线  空间曲线r(s)对它的渐开线而言就是渐屈线,也就是渐开线的一族法线包络.

  渐屈线C1的一点M1落在C的对应点M的曲率轴上.(上页下图)

  如果这族法线组成可展曲面时,则在法面上旋转一个定角,所得到的法线仍然组成一个可展曲面(右图)

 

式中为曲率半径,为渐屈线的切线与主法线的交角