§2  线性空间与线性子空间

 

一、  线性空间

 

[线性运算]   F是一个域,其元素abc作为数量;V是任一种类对象的集,其元素用希腊字母α,β,γ,…表示. 确定两个运算法则:
    1o  V
中元素的加法.  V中任二元素αβ,总有唯一确定的元素γ与它们对应,称为αβ之和,记作 .
    2o F
中的数量与V中元素的乘法.  F中任一数aV中任一元α,总有唯一确定的元素δ与它们对应,称为aα的数乘,记作

 这两个运算法则称为线性运算.
    [
线性空间及其性质]   F是一个域,V是任一种类对象的集,若对线性运算满足以下条件,则称V为域F上的线性空间:
    (
i)  V是一个加法群;
    (
ii)  对任意元aFαV,对应着唯一确定的一个元
    (
iii) 满足分配律和结合律,即对
                    
F的元素称为线性空间的数量,V的元素称为它的矢量,因而线性空间又称矢量空间. 加法群的单位元称为零矢量,记作0,(-1ααV的逆元,称为负矢量.
   
实数域上的线性空间称为实线性空间;复数域上的线性空间称为复线性空间.

    1  三维空间中的矢量全体组成一个实线性空间.

    2  数域F上的多项式环F[x],按照通常的多项式加法与多项式乘法,组成数域F上的线性空间.

    3  元素属于数域Fm×n矩阵,按照矩阵的加法和矩阵与数的乘法,组成数域F上的线性空间.

    4  按照通常的加法和乘法,实数全体是实数域R上的线性空间. 复数全体是复数域C上的线性空间. 任一域是用自己当作数量域的线性空间.

    5  把在一个实区间(ab)中定义的每个连续实函数当作一个元素,任意两个元素fg的和记作 是在 中定义的一个连续实函数,它在每一点x的值规定为

又把一个元素f乘实数c所得到的元素 规定为

                       

则这些元素全体组成一个实线性空间.

线性空间有以下性质:

1o零矢量是唯一的.

   2o负矢量是唯一的.

   3o .

   4o c=0α=0.

[线性相关与线性无关]  F上的线性空间V中一组有限个矢量 ,如果对 ,仅当 时等式

                     

才成立,则称矢量组 为线性无关,否则称为线性相关. 若矢量组 线性相关,则其中至少有一个矢量 是其余矢量 的一个线性组合:

    含零矢量0的任一组矢量是线性相关的.
   
假定域F上的线性空间V上又定义了收敛性(第二十一章,§3,四),V中一组无限多个矢量 ,如果对F中的 仅当 时等式
                           
才成立,则称矢量 为线性无关,否则称为线性相关.

    [基底与坐标]  F上的线性空间V中一组矢量 如果满足

    (i) 是线性无关的;

    (ii) V中任一矢量都是矢量 的一个有限线性组合;则称 V的一个有限基底,也称 生成(或张成)这个空间, 为空间的一组生成元.

V的一组基底,则V中任一矢量α一定可以用 的线性组合来表示:

                   

式中复数 是唯一确定的,它称为矢量α关于基底 的坐标.

如果V有一个有限基底,就称V是一个有限维线性空间,否则,称为无限维空间. 有限维线性空间V的基底的矢量个数称为V的维数,记作 .

    [第一维数定理]  F上有限维线性空间V的任意两个基底有相同个数的元素.

    推论  为一个n维线性空间V中一组线性无关的矢量,显然 ,则在V中存在一个基底使得 是它的一部分.

 

二、  线性子空间

 

    [线性子空间]  S是域F上线性空间V的一个非空子集,若S对于V的线性运算也构成线性空间,则称SV的一个线性子空间,简称为子空间.

S是域F上线性空间V的一个子集,若关于线性运算是封闭的,即

(i)

(ii) ,

SV的子空间.

例如,在线性空间V的单个零矢量所组成的子集是V的一个子空间,称为零子空间. V本身也是V的一个子空间. 这两个子空间称为V的平凡子空间.

为域F上线性空间V中的一组矢量,这组矢量的一切线性组合

        

构成V的一个子空间,称为由 生成(或张成)的子空间. 这是V的非平凡子空间.

    [子空间的交与和]  ST是域F上线性空间V的子空间,属于S又属于TV中一切矢量所构成的子集称为ST的交(通集),记作 . 由能表示为 的一切矢量构成的子集称为ST的和(和集),记作 (或 .

STF上线性空间V的两个子空间,则ST的交 以及和 都是V的子空间.

[第二维数定理]  ST是线性空间V的两个子空间,则

           
(这里 表示线性空间V的维数).

推论  n维线性空间V中两个子空间ST的维数之和大于n,则ST必含有公共非零矢量.

例如,三维空间中两个不同平面(二维子空间)交于一条直线,由于 ,但 ,所以 .

[子空间的直和]  是线性空间V的子空间,若和 中每个矢量α的分解式

              

是唯一的. 这个和就称为直和,记作   

                            

子空间的直和具有以下性质:

1o 是直和的充分必要条件是:

               

仅当 全为零矢量时才成立.

2o 是直和的充分必要条件是:

               Φ(空集)

3o 是线性空间V的子空间,若

                 

            

其逆也真.

这表明对于子空间的直和,维数是可加的. 由此可见,若

                   

把子空间 的基

                     

合并起来就得到子空间W的一组基.

[商空间]  SV的一个子空间,并设两个矢量 ,若 ,则说 是等价的,记作 . 实际上,这个关系具有等价关系的三个性质:
    (
i) 反身性  对每个 ,有
    (
ii) 对称性  ,则
    (
iii) 传递性  ,则 .
   
和集合的情形一样,称两个等价的矢量 是属于同一类. 每个矢量 恰好包含在一个类中,这一类记作 . V中的零矢量0包含在与子空间S重合的 类中.

若把每个类作为一个元素,则这一切元素组成的集是一个线性空间,称为V关于S的商空间,记作 . 商空间的零矢量是 ,且有
                   

由此可见,若 ,则商空间的维数是零;又若S是零空间,则商空间的维数与V的维数相同.