第八章        矢量算法与场论初步·张量

算法与黎曼几何初步

 

    本章包括两个部分.

第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有:矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示;以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质,以及它们在不同坐标系中的表达式;叙述了矢量的积分定理(高斯公式、斯托克斯公式和格林公式);引进了仿射坐标系,阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量,同时把这些概念推广到n维空间中去.

第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法,然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如,仿射联络、矢量和张量的平行移动,及协变微分法与自平行曲线等;并在n维空间中引进度量的概念,来定义黎曼空间,从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络,于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是,因为黎曼空间是由度量定义的,所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.

 

                          §1   矢量算法

 

一、 矢量代数

 

    [矢量概念]  只有大小的量称为标量(也称为数量或纯量).例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.

    具有大小和方向的量称为矢量(也称为向量).例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量.

    在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度 表示大小,用端点的顺序A B表示方向.A称为始点,B称为终点,这个矢量记作 ,或用黑正体字母a表示.矢量的大小(或长度)的数值称为它的模或绝对值,用记号 |a|表示.

    矢量按其效能可分成三种基本类型:

    具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶.

    沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力.

    作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.

    在这里所讨论的矢量,除特别说明外,都指自由矢量,就是说,所有方向相同,长度相等的矢量,不管始点如何,都看作相同的矢量.

    模等于1的矢量称为单位矢量.

    模等于零的矢量称为零矢量,记作,它是始点和终点重合的矢量.

    模与矢量 的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量,记作-a.

点与原点O重合而终点位于一点M的矢

(8.1)称为点M的矢径(或向径),记作

r原点称为极点.如果M的直角坐标为xyz ,

则有

        r (xyz)xiyjzk

式中ijk分别为x轴,y轴,z轴的正向单位

矢量,称为坐标单位矢量(或基本矢量).

 

[矢量的基本公式]

 

         

            

           

  矢量a的坐标表示

 

  坐标单位矢量ijk

的坐标表示

 

 

  零矢量的坐标表示

 

  a的长度(或模)

 

  a的方向余弦( , ,

a的方向角)

 

  矢量 (两端点 A

的坐标分别为( ax,ay,az),

(bx,by,bz)

  aaxiayjazk(ax, ay, az)

 

  i(1,0,0)

  j(0,1,0)

  k(0,0,1)

 

  0(0,0,0)(0无方向)

 

  = a

 

 

 

  (bxax)i(byay)j

       (bzaz)k

 

 

 

 

    [加法]  a(ax,ay,az)b(bx,by,bz),则

ab=( axbx,ayby,azbz)


把矢量的始点移到原点 O ,以 a b 为边作平行四边行,由原点作出的对角线就表示和矢量 a b ( 称为平行四边形法则,见图 8.2); 或者把二矢量首尾相接 , 由始点到终点的矢量即为和矢量 a +b( 称为三角形法则,见图8 .3).

加法运算适合如下规律:

                             (交换律)

                     (结合律)

    aaaa(a)

    [减法]  a(ax,ay,az)b(bx,by,bz),则

              ab(axbxaybyazbz)

把矢量b的负矢量与矢量a相加,得矢量ab

(8.4).

    对任意两个矢量ab成立三角形不等式:

|ab| |a||b|

    [数乘]  以实数 乘矢量a称为数乘,记作 a. >0时,a的模伸缩 倍,方向保持不变;当 <0时,a的模伸缩| |倍,而方向与a相反(8.5),如果a=(ax,ay,az)

a( ax, ay, az)

为两实数,ab为两矢量,则数乘运算适合

下列规律:

( a)( )a           (结合律)

( )a a a       (分配律)

(ab) a b         (分配律)

    [矢量的分解]

    1    abc为三个共面的矢量,而bc为非共线矢量,如果把它们移到公共始点,由矢量c的终点C作两条平行于ab 

直线,各交ab(或延长线)(图8.6),则

c + = a b

这称为矢量cab的分解.

    2    abc 为非共面矢量,而d为任一矢量,把

它们移到公共始点,由矢量d的终点D作三个平面分别

平行于(bc)平面,(ca)平面和(ab)平面,且与abc(或延长线)分别交于(8.7),则

        d + + a b    

称为矢量dabc的分解.

    3    如果两个非零矢量ab有线性关系

              a b

式中 , 不全为0,则称这两个矢量共线(

a//b);反之也真.称这两个矢量ab为线性相关.

    4    a,b为两个非零矢量,若 a b ,则有 =0, =0,这时称ab为线性无关.

    5    若三个非零矢量abc有线性关系 a b ,式中 不全为零,则这三个矢量共面,反之也真.这时,称abc为线性相关.如果abc为三个非零矢量,而 a b ,则有 =0,这时,abc为线性无关.

    6    四个(或四个以上)矢量abcd必有线性关系;就是说它们一定线性相关.这时,必有不全为0的四个数 ,成立 a b d.

    [标量积(数量积、点积、内积)  a(ax, ay, az)b(x,y,z)|a|a|b|bab两矢量的夹角为 ,则称数值ab cos 为矢量ab的标量积(也称为数量积、点积或内积).记作

     a·babab cos ( )

可以看作矢量a的长度乘以矢量ba上的投影的长度(8.8).

    标量积运算适合以下的规律:

a·bb·a                   (交换律)

a·(bc)a·ba·c         (分配律)

( a)·( b) a·b   (数乘的结合律)

a·aa|a|a

ab为非零矢量,a·b=0,则a b;反之也真.

i·ij·jk·k1i·jj·kk·i=0

a·baxbxaybyazbz                            (即对应坐标相乘之和)

    [矢量积(叉积、外积)  a(ax,ay,az)b(bx,by,bz)|a|a|b|bab两矢量的夹角为 ,则定义a×b为两矢量的矢量积(也称为叉积或外积),它是一个矢量,即长度等于以ab为边的平行四边形的面积(8.9阴影部分)

         |a×b|ab sin         ( )

它的方向垂直于两矢量ab,并且aba×b构成

右手系(8.9).

    矢量积运算适合下列规律:

a×b=-b×a          (反交换律)

(a+b)×ca×cb×c   (分配律,次序不能交换)

( a)×( b) (a×b)

[( )a]×b( )(a×b) (a×b) (a×b)

a×a

    ab为非零矢量,则ab共线(a//b)的充分必要条件是:

a×b=0

i×ij×jk×ki×jkj×kik×ij

a×b (ay bz- az by)i+( az bxax bz)j+( ax byay bx)k

    [两矢量的夹角]

cos(ab)

sin(ab)

    [拉格朗日恒等式]

(a×b)·(c×d)(a·c)(b·d)(a·d)(b·c)

特别                 (a×b)2=a2b2(ab)2

                   (ay bx- az by)2+( az bxax bz)2+( ax byay bx)2

                     (ax2+ay2+az2)(x2+by2+bz2)(axbx+ayby+azbz)2

    [三个矢量的混合积]  a(ax,ay,az)b(bx,by,bz)c(cx,cy,cz)为三个矢量,则它们的混合积定义为

(abc)a·(b×c) ax(byczbzcy)ay(bzcxbxcz)az(bxcybycx)

    混合积具有性质:

    1   a·(b×c)(a×b)·c

    注意,一般情况下等式

(a·b)·c =a·(b·c)

(a×b)×c =a×(b×c)

不成立.

    2   (abc)(bca)(cab)=(acb)=(bac)=(cba)

即有轮换性:

a·(b×c)b·(c×a)c·(a×b)=-a(c×b)=-b(a×c)=-c(b×a)

    3   混合积(abc)是一个数,它的绝对值等于以abc为边的平行六面体的体积.

    4   三个矢量共面的充分必要条件是:(abc)0.

    [三重矢积]

a×(b×c)(a·c)b(a·b)c

(a×b)×c(a·c)b(b·c)a

采用abc轮换法还可推出其余两个同类公式.

    [多重积的几个公式]

a×(b×c)b×(c×a)c×(a×b)=0

(a×b)·(c×d) (a·c)(b·d)(a·d)(b·c)

(a×b)×(c×d)(abd)c(abc)d(cda)b(cdb)a

a×[b×(c×d)](b·d)(a×c)(b·c)(a×d)

(a×b  b×c  c×a)(abc)

(aaa)(bbb)

(a×b  c×d  e×f)(abd)(cef)(abc)(def)

 

二、 矢量分析

 

    1.矢量微分

    [矢函数]  对于自变量t(标量)的每一个数值都有变动矢量a的确定量(长度与方向都确定的一个矢量)和它对应,则变()a称为变量t的矢函数,记作

af(t)

矢函数也可表为

a=axiajazk

式中

axfx(t)ayf(t)azfz(t)

为三个标函数.

    若把变动矢量表成点M的矢径形式

rr(t)

则当t变动时,点M在空间中描出一条曲线,称为矢函数的矢端曲线.它的坐标由三个等式给定:

r =xiyjzk

xx(t)yy(t)zz(t)

    [矢函数的极限与连续性]  若对任意给定的 >0 , 都存在数 >0,使得当 tt <

r(t)r <

成立,则称r为矢函数r(t)t t时的极限,记作

= r0

    存在,则

i+ j+ k

    = r(t0),则称矢函数r(t)tt处连续.

    [矢函数的导数与微分]  如果极限

存在,就称它为矢函数af(t)的导数,记作 .矢函数af(t)的导数仍为矢函数,从而还可求它的导数,即二阶导数,记作 ,等等.

da dt

称为矢函数af(t)的微分.

    [矢函数求导公式]

0        (c为常矢量)

(ka)k    (k为常数)

(abc)

( a) a             ( t的标函数)

 (a·b) ·ba·          (顺序可以交换)

 (a×b) ×ba×        (顺序不可以交换)

 (abc)=( bc)+(a c)+(ab )  (顺序不可以交换)

                a [ (t)]=      

 ( t的标函数,这是复合函数的求导公式)

    [矢径形式的矢函数求导公式] 

rr(t)x(t)iy(t)jz(t)k

表示矢函数的矢端曲线,则

    1   = i j k

表示矢端曲线的切线矢量(8.10),指向t增加的方向,式中 , = , =

    2    = t

式中s为矢端曲线的弧长,t为切线的单位矢量.

    3   i j k

式中 , = , =

    [矢函数的泰勒公式]

        r(t t)r(t) (t) t (t)( t)+···+ r(n)(t)( t)n rn( t)n+1

式中

rnx(n+1)(t1)iy(n+1)(t2)jz(n+1)(t3)k    (t < t1 , t2 , t3 < t t)

r(n)(t)= x(n)(t)iy(n)(t)jz(n)(t)k

x(n)= , y(n)= , z(n)=

[矢量函数的几个常用性质]

1   定长矢量r(t) (t),反之也真.从而切线的单位矢量的导数与原矢量垂直.

2   定向矢量r(t)// (t),反之也真.

3   一个变动矢量r(t)平行于一个定平面的充分必要条件是:混合积

( )0

2.矢量积分

[不定积分]  a(t)b(t)为矢函数,则矢量微分方程

a(t)

的解

(t)dtb(t)c      (式中c为任意常矢量)

称为矢函数a(t)的不定积分.

    [定积分] a(t)b(t)为矢函数,则

 a(t)dtb(t2)b(t1)

称为矢函数a(t)的定积分,tt分别称为下、上限.

    [平面面积矢量] 

r r(t)x(t)iy(t)jz(t)k

dridxjdykdz

S r×dr

式中Lr(t)矢端所画的闭曲线,SL所包围的面积矢量,原点在闭曲线.