§ 5 二次曲线

 

一、    

 

[圆的方程、圆心与半径]

       

 

  x2 + y2 = R

   

(参数方程,t为动径OMx轴正方向的夹角)

 

 

 

  圆心    G(0,0)      

  半径    r = R

 

 

(x - a)2+(y - b)2 = R2 

  

(参数方程,t为动径OMx轴正方向的夹角)

 

 

  圆心       G(a, b)  

  半径      r = R

 

 

x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0      

m2 + n2 > q

r2 + 2r (mcost + nsint) + q = 0  (极坐标方程)

             

 

  圆心    G(-m,-n)

  半径   

 

 

 

 

 

r2 - 2rr0cos(j - j0) + r02 = R2           (极坐标方程)

             

 

 

   圆心         G(r0,j0)

   半径         r = R

 

 

 

x2 + y2 = 2Rx

   r = 2Rcosj

      (极坐标方程)

 

 

   圆心          G(R, 0)

   半径      r = R

 

            

  x2 + y2 = 2Ry

   r = 2Rsinj

      (极坐标方程)

 

   圆心      G(0,R)

   半径      r = R

 

 [圆的切线]

   x2 + y2 = R2 上一点M(x0, y0)的切线方程为   

       x0x + y0y = R2

   x2 + y2 + 2mx + 2ny + q = 0      上一点M(x0, y0)的切线方程为

x0x + y0y + m(x + x0) + n(y + y0) + q = 0

[两个圆的交角、圆束与根轴]

 

       

       

两个圆的交角

C1   x2 + y2 + 2m1x + 2n1y + q1 = 0

C2   x2 + y2 + 2m2x + 2n2y + q2 = 0

       两个圆的交角是指它们在交点的两条切线的夹角

 

 

 

      

式中q表示两个圆C1C2的交角,因为公式中不包含交点的坐标,所以在两交点的两交角必相等.

       两个圆C1C2正交条件为

              2m1m2 + 2n1n2 - q1 - q2 = 0

 

圆束×两个圆的根轴

Cl   C1 + lC2 = 0 (l为参数)

  (l + 1)(x2 + y2) + 2(m1 + lm2)x +   2(n1+ln2)y + (q1 + lq2) = 0

根轴方程为 2(m1 - m2)x + 2(n1 - n2)y + (q1 - q2) = 0

       l(l ¹ -1)的一个确定值,Cl表示一个圆.l取一切值(l ¹ -1)时,Cl所表示的圆的全体,称为圆束.l = -1时,为一直线,称为两个圆C1C2的根轴.根轴与C1C2的连心线垂直,束中任一圆Cl的圆心在C1C2的连心线上,且分连心线的比等于l.

(a)如果C1C­2 相交于两点M1M2,则束中一切圆都通过两交点M1M2,它们的根轴就是它们的公共弦.这时圆束称为共轴圆系((a)).

(b)如果C1C­2切于一点M,则束中一切圆都在一点M相切,根轴就是在点M的公切线((b)).

(c)如果C1C­2不相交,则束中一切圆都不相交,根轴也与圆束中一切圆都不相交((c)).

  从点P作两个圆C1C2的切线,具有相等切线长的点P的轨迹就是根轴.两个同心圆的根轴是从公共圆心到无穷远处的直线.三个圆中每对圆的根轴(共三个)交于一点,它称为根心.若三个圆心共线,则其根心在无穷远处.

 

 

[反演]    C为一定圆,O为圆心,r为半径(7.1),对平面上任一点M,有一点M¢与它对应.使得满足下列两个条件:

    iO, M, M¢共线,

       iiOM×OM¢ = r2

这种点M¢称为点M关于定圆C的反演点,C称为反演圆,O称为反演中心,r称为反演半径.

由于MM¢的关系是对称的,所以M也是M¢的反演点.r2 > 0,所以MM¢都在O的同侧.MM¢之间的对应称为关于定圆C的反演.

O为原点,则一切反演点M(x, y)M¢(x¢,y¢)对应方程为

             

反演具有性质:

       7.1

1°    不通过反演中心的一条直线变为通过反演中心的一个圆.

2°    通过反演中心的圆变为不通过反演中心的直线.

3°    通过反演中心的一条直线变为它自己.

4°    不通过反演中心的圆变为不通过反演中心的圆.

5°    反演圆变为它自己.

6°    与反演圆正交的圆变为它自己,其逆也真.

7°    如果两条曲线C1C2交于一点M,则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必交于M的反演点M¢.

8°    如果两条曲线C1, C2在一点M相切,则经过反演后的曲线C1¢, C2¢必在M的反演点M¢相切.

9°    两条曲线的交角在反演下是不变的.由此可见,反演是一个保角变换.

 

二、     椭圆

 

1.椭圆的基本元素

主轴(对称轴)

         A, B, C, D

椭圆中心     G

         F1, F2

        

    

压缩系数    

焦点参数     (等于过焦点且垂直于长轴的弦长之半,即F1H)

焦点半径     r1, r2(椭圆上一点(x, y)到焦点的距离)

r1 = a - ex r2 = a + ex

         PQ(通过椭圆中心的弦)

7.2

共轭直径     二直径斜率为,且满足

    线     L1L2(平行于短轴,到短轴的距离为)

2.椭圆的方程、顶点、中心与焦点

       

顶点·中心·焦点

  (标准方程)

(参数方程,t为与M点对应的同心圆(半径为a, b)的半径与x轴正方向的夹角)

 

 

 

顶点      A, B(±a, 0)

              C, D(0,±b)

中心      G(0,0)

焦点      F1, F2(±c,0)  

      

 

 

 

 

    (t同上)

 

 

顶点      A, B(g ± a, h)

       C, D(g, h ± b)

中心      G(g, h)

焦点      F1, F2(g ± c, h)

      

 

 

 

 

 

 

 

 

顶点      A, B(0, ± a)

       C, D(± b, 0)

中心      G (0, 0)

焦点      F1, F2(0, ± c)

      

 

 

 

e < 1

 (极坐标方程,极点位于椭圆一焦点上,极轴为从焦点指向最近一个顶点的射线,j为极角,p, e如前述)

 

 

长轴     

短轴     

焦距     

 

3.椭圆的性质

1°    椭圆是到两定点(即焦点)的距离之和为常数(即长轴)的动点M的轨迹  (r1 + r2 = 2a).

2°    椭圆也是到一定点(即焦点之一)的距离与到一定直线(即一准线L)的距离之比为小于1的常数(即离心率)的动点M的轨迹(MF1/ME1 = MF2/ME2 = e).

3°    椭圆是将半径为a的圆沿y轴方向按比(即压缩系数)压缩而得到.

4°    椭圆上一点M(x0, y0)的切线(MT)方程为

切线把点M的两焦点半径间的外角(F1MH)平分(a=b,),M点的法线MN把内角(F1MF2)平分(7.3).

       如果椭圆的切线(MT)的斜率为k,则其方程为

               

        7.3


       式中正负号表示直径两端点的两切线.

        7.4

       5°    椭圆的任一直径把平行于其共轭直径的弦平分(7.4)

       如果两共轭直径的长分别为2a12b1, 两直径与长轴的夹角(锐角)分别为ab,      a1b1sin(a + b) = ab      

a12 + b12 = a2 + b2

       6°    椭圆上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.

       7°    MM¢, NN¢为椭圆的两共轭直径, 通过M, M¢分别作直线平行于NN¢; 又通过N, N¢分别作直线平行于MM¢, 则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(7.5).

7.5


       4.椭圆各量计算公式

                          

 

 

椭圆各量

        

 [曲率半径]

    R

式中r1, r2为焦点半径, p为焦点参数, a为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹角.特别, 顶点的曲率半径

              ,  

  [弧长]

   

=

式中e为离心率

  [周长]

    L

 

式中,    

,

             

  [面积]

    S

扇形(OAM)面积       

弓形(MAN)面积       

                    S = pab

[几何重心]

       G

 

     GO重合

半椭圆形    

    (a, b为椭圆的半轴长)         

 

      

 

[转动惯量]       J

 

椭圆的转轴通过b

      

式中m为质量     

        

 

 

三、     双曲线

 

1.[1051] 双曲线的基本元素

主轴(对称轴)


 

 

 

 

 

 

 

 

 

      7.6

         A, B

         G

         F1, F2

         F1F2 = 2c,    

    

焦点参数     (等于过焦点且垂直于实轴的弦长之

                  ,F1H)

焦点半径     r1, r2       (双曲线上一点(x, y)到焦点的距离,

                  MF1, MF2)

r1 = ± (ex - a), r2 = ± (ex + a)

         PQ(通过中心的弦)

共轭直径     二直径斜率为k, k¢,且满足

    线     L1L2         (垂直于实轴, 到中心的距离为)

2.双曲线的方程、顶点、中心、焦点与渐进线

       

顶点·中心·焦点·渐近线

       (标准方程)

       (参数方程)

  

 

 

        A, B(±a,0)

        G(0,0)

        F1, F2(±c,0)

      

线    

 

 

(   成共轭双曲线)

           

 

       

       

            

线   

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         

  

                

线      

 

 

                  

   

顶点·中心·焦点·渐近线

(极坐标方程.极点位于一焦点上,极轴为从焦点背向顶点的射线,p, e如前述.由此方程只能确定一支,另一支可由对称性而得到)

            

    

           

           

 

   (等轴双曲线)

          

 

          

        

               

   (k>0时取同号,k<0时取异号)

        

线    

      

(等轴双曲线)

  

 

   

             (D<0时取同号,D>0时取异号)

        

   

     

线     

    

3.双曲线的性质

1° 双曲线是到两定点(焦点)的距离之差为常数(等于实轴2a)的动点M的轨迹(使的各点属于双曲线的一支,而使的各点属于其另一支).

2° 双曲线也是到一定点(焦点之一)的距离与到一定直线(准线L1)的距离之比为大于1的常数(即离心率)的动点M的轨迹().

3° 双曲线上一点M的切线(MT)的方程为

                         

       7.8

它把M点两焦点半径间的内角()平分(),而M点的法线MN把外角()平分(7.7).

如果双曲线的切线的斜率为k,则其切线的方程为

                  

式中正负号表示在直径两端点的两切线.

4°  两条渐近线之间的切线线段TT1被切点M平分(TM = MT1),且

                   DOTT1的面积

平行四边形OJMI的面积(7.8的阴影部分)

                  

5°  双曲线的任一直径把平行于共轭直径的弦平分(7.9)

         7.9

如果两共轭直径的长分别为2a1,2b1, 两直径与实轴夹角(锐角)分别为ab(a<b),则

                  

6°  双曲线上任一点M的焦点半径之积等于它的对应半共轭直径的平方.

     7.10

7°  MM¢, NN¢为双曲线的两共轭直径,通过M, M¢分别作直线平行于NN¢;又通过N, N¢分别作直线平行于MM¢,则这四条直线构成的平行四边形的面积为一常数4ab(7.10).

4.双曲线各量计算公式

                                          

双曲线各量

        

[曲率半径]

     R

 

 

 

 

      

       式中r1, r2为焦点半径,p为焦点参数,a为点M(x, y)的焦点半径与切线的夹角,特别,顶点A, B的曲率半径

 

 双曲线各量

                    

 [弧长]

  

  =

式中e为离心率

  [面积]

     S

 

弓形(AMN)的面积:

             

OAMI的面积:

这里OI, OJ为渐近线,MI // OJ

 

四、     抛物线

 

           7.11

1.抛物线的基本元素

抛物线的主轴    AB

                A

                F

焦点参数            p(等于过焦点且垂直于轴的

              CD之长的一半)

焦点半径            MF(抛物线上一点到焦点的

              距离)

                EMH(平行于抛物线的轴的直

              线)

    线            L(与抛物线的轴垂直,到顶点A的距离等于,到焦点F的距离等于p)

2.抛物线的方程、顶点、焦点与准线

 

       

顶点·焦点·准线

(标准方程)      

                    

(极坐标方程,极点位于焦点F上,极轴与抛物线的轴重合,背向顶点)

 

 

         A(0, 0)

        

    线    

     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         A(0, 0)

        

    线    

 

 

 

                   

    顶点·焦点·准线

  

 

 

         A(0, 0)

        

        线   

  

 

 

 

 

 

 

         A(0, 0)

        

        线   

 

         A(g, h)

        

    线    

 

 

 

 

 

         A(g, h)

   

        线   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        

(a>0时,开口向上, 

 a<0时,开口向下)

焦点参数    

    x轴的交点   

      

 

 

        

    焦点参数   

 

 

 

 

 

3.抛物线的性质

             7.12

1°    抛物线是到一定点F(焦点)的距离与到一定直线L(准线)的距离相等的动点M的轨迹(MF¢=ME)(7.12)

2°    抛物线上一点的切线MT的方程为

      

它把M点的焦点半径与直径的夹角(ÐFMG)平分(ÐFMT=ÐTMG),并且一切与切线MT平行的弦被过M点的直径平分(PI=IQ).

如果抛物线的切线的斜率为k,则其切线的方程为

                  

3°    抛物线的任两切线的夹角等于两切点的焦点半径的夹角的一半.

4°    从焦点F作抛物线在点M的切线的垂线,则垂足的轨迹为在顶点的切线.

4.抛物线各量计算公式

              

抛物线各量

            

[曲率半径]

R

 

 

 

式中a为点M(x, y)的切线与主轴的夹角,n为法线MN之长.特别,顶点的曲率半径R0 = p

   [弧长]

=

     

[面积]

S

弓形(MOD)的面积=平行四边形(MBCD)的面积

         

这里MD弓形弦长,CD平行于主轴,BC与抛物线相切,

h为该平行四边形的高(即弓形拱高),特别,

[几何重心]

G

弓形(MOD)的重心

(BC平行于MD,P为切点,PQ平行于Ox)

 

 

五、     一般二次曲线

 

1.二次曲线的一般性质

上面所列举的椭圆、双曲线、抛物线等,它们的方程关于x,y都是二次的,关于x,y的一般二次方程的形式是

它所表示的曲线称为一般二次曲线.这里列举它们的一些共同性质.

[直线与二次曲线的交点一直线与一个二次曲线交于两点(实的,虚的,重合的).

[二次曲线的直径与中心一个二次曲线的平行于已知方向的弦的中点在一直线上,称它为二次曲线的直径,它平分某一组弦.设已知方向的方向数为a,b,则直径的方程为

或改写为

由此可见,二次曲线的直径组成一个直线束.束内任一直径通过下列两直线交点:

1°  .

这时二次曲线的一切直径通过同一点,称为中心,这种曲线称为有心二次曲线,中心的坐标为

2° 

(i)    这时曲线无中心;

(ii)  这时曲线有无限个中心,即中心在同一直线上(中心直线).

这两种曲线称为无心二次曲线.

[二次曲线的主轴(或对称轴)]  如果直径垂直于被它所平分的弦,则称它为二次曲线的主轴(对称轴), 无心二次曲线有一条实的主轴;有心二次曲线有两条实的主轴,它们是互相垂直的,交点就是中心.

[二次曲线的切线与法线

二次曲线上的一点的切线方程为

    在点M与二次曲线的切线垂直的直线称为在点M的法线,它的方程为

2.二次曲线的不变量

由一般二次曲线的方程

                                   (1)

的系数所组成的下列三个函数:

称为二次曲线的不变量,即经过坐标变换后,这些量是不变的.行列式D称为二次方程(1)的判别式.

3.二次曲线的标准方程与形状

 

   

坐标变换后的标准方程

曲线形状

线

式中

    

A , C是特征方程

    的两特征根

时为椭圆

时为虚椭圆

有一公共实点的一对虚直线

双曲线

相交两直线

 

 

 

线

式中

   

抛物线

时为平行两直线

时为重合二直线

时为一对虚直线

4.二次曲线的几种情况

A

    

顶点·中心·焦点参数

抛物线

顶点     

焦点参数 

椭圆

顶点 

     

其中

中心

双曲线

5.圆锥截线

二次曲线都是用平面切割正圆锥面的截线.因此二次曲线也称为圆锥截线(图7.13


    用一平面 P 切割正圆锥时 , P 不通过锥顶 , 且不平行于任一母线 , 则截线为椭圆 ; P 不通过锥顶 , 而平行于一条母线时 , 截线为抛物线 ; P 不通过锥顶而平行于两条母线时 , 截线为双曲线 ; P 垂直于锥轴 , 截线为圆 .

P通过锥顶,则椭圆变为一点,双曲线变为一对相交直线,抛物线变为P与圆锥相切的一直线.

 


 [1051]