第七章 解析几何与微分几何

 

解析几何是运用代数方法研究几何图形的性质,它的主要研究对象是直线、平面、二次曲线与二次曲面.微分几何是运用无穷小分析方法研究几何图形的性质,它的主要研究对象是曲线与曲面.

本章的所有内容都只在欧氏(没有包括仿射和射影)空间中讨论.

全章有十一节.前六节属于解析几何,叙述了平面及空间的坐标系、坐标变换与基本计算公式;平面上和空间中直线与平面方程的各种形式以及它们之间的相互关系,较详细地列出了各种类型的二次曲线和二次曲面的基本元素、标准方程、主要性质和各量的计算公式.最后还从一般的二次方程出发研究了二次曲线与二次曲面的一般性质,并利用不变量写出标准方程和形状的判定.

后五节的内容属于微分几何,关于曲线论这里给出了:平面曲线和空间曲线的雪列-弗莱纳公式和基本定理,以及它们的曲率、挠率的概念和计算公式;等距线、渐开线、渐屈线和包络线的定义和方程,较详细地收集了重要平面曲线和一些特殊空间曲线的方程、图形及其各种特征.关于曲面论这里只叙述了几个特殊曲面的方程、图形和性质,并且给出曲面的基本元素(弧长、面积、夹角、切面、法面等方程和公式)、基本形式、基本方程、基本定理、曲率线、渐近曲线、共轭曲线、测地线与法曲率、测地曲率、总曲率、平均曲率、波恩涅公式等.

本章中凡是有关矢量的概念、运算和公式,请查阅第八章.

 

§ 1 坐标系与坐标变换

 

一、         平面坐标系及其变换表

 

           

[笛卡儿直角坐标系]

 

Ox为横轴,Oy为纵轴

M(x, y)        x为横坐标

y为纵坐标

     IIIIIIIV为四个象限,在各个象限里点的坐标xy的符号为

 

象限

 I  II  III  IV

 

 

 

 

  x

  y

 +  -  -   +

 +  +  -   -

[极坐标系]

O为极点,Ox为极轴

M(r,j)      r为矢径(0 £ r < ¥)

         j为极角(-¥ < j < ¥)

j从极轴开始,逆时针转动为正,顺时针转动为负

 

 

 

 

 

 

 

 

               

[直角坐标系与极坐标系的互换]

 

[坐标轴的平移]

这里x, y表示旧坐标,X, Y表示新坐标,g, h是新坐标系原点O¢在旧坐标系内的坐标

 

[坐标轴的旋转]

 

a为坐标轴绕原点转动的角

任一坐标变换都可以分解为坐标轴的平移与坐标轴的旋转两部分

 

 

二、         空间坐标系及其变换表

 

           

[笛卡儿直角坐标系]

 

(a)右手系  b)左手系

         (c)

Ox为横轴,Oy为纵轴,Oz为竖轴

M(x, y, z)    x为横坐标

          y为纵坐标

          z为竖坐标

IVIII为八个卦限,在各个卦限里点的坐标x, y, z的符号为

 

卦限

  I  II  III  IV  V  VI  VII  VIII

  x

  y

  z

  +  -  -   +   +   -   -   +

  +  +  -   -   +   +   -   -

  +  +  +   +   -   -   -   -

 

 

 

 

 

 

 

 

  

                      

[圆柱面坐标系]

r,j为点MOxy平面上投影的极坐标,z为点MOxy平面的距离.这里 

 0 £ r < ¥  

-¥ < j < ¥ 

     -¥ < z < ¥

[球面坐标系(极坐标系)]

 

r为矢径长(OM)j为经度,q为纬度(或极距角)

这里 

  0 £ r < ¥  

 -¥ < j < ¥  

  0 £ q £ p

 

[圆柱面坐标与直角坐标的互换]

 

         

[球面坐标与直角坐标的互换]

 

         

[坐标轴的平移]

 

   

    式中x, y, z为旧坐标;X, Y, Z为新坐标;g, h, k为新坐标系原点O¢在旧坐标系内的坐标

[坐标轴的旋转]

   按下表给出新坐标轴OXOYOZ的方向余弦时

 

 

新坐标轴

  方向余弦 (§ 4)

 

 

 

 

   OX

   OY

   OZ

l1   m1   n1

l2   m2   n2

    l3   m3   n3

则有

[欧拉角]  新坐标轴的位置也可以用三个所谓欧拉角来确定(见上图)

(i)      章动角q OZOz两轴正向夹角(0£q<p).

(ii)    进动角yOAOx的夹角(0£y<2p)OAOXYOxy两平面的交线,面对Oz轴的正向,y按逆时针方向从Ox轴开始计算.

(iii)  自转角jOAOX的夹角(0£j<2p),面对OZ轴正向,j按逆时针方向从OX轴开始计算

若设

              c1=cosθ c2=cosy    c3=cosj

              s1=sinθ  s2=siny     s3=sinj

     l1 = c2c3­ - c1s2s3,       m1 = s2c3 + c1c2s3    n1 = s1s3

     l2 = - c2s3 �C c1s2c3,    m2 = -s2s3+c1c2c3,        n2 = s1c3

     l3 = s1s2,                   m3 = - s1c2,                  n3 = c1

    变换行列式    Δ=

    当右手系变为右手系(或左手系变为左手系)时,Δ=1.当右手系变为左手系(或左手系变

为右手系)时,Δ= -1 .