第六章

 

    这一章综述了单变量函数的常义积分、广义积分、含参数积分的基本概念、性质和计算方法,收集了求不定积分、定积分、多重积分、曲线积分、曲面积分的有关公式,主要的积分不等式以及积分的某些近似计算公式,简要地列举了积分在实际中的各种应用;编制了不定积分表和定积分表.

 

§1单变量函数的积分

 

一、积分基本概念

 

[不定积分(原函数)] 如果在给定的区间[a ,b]

                             

那末F (x)称为f(x)在区间[a,b]上的一个原函数.

如果f (x)有一个原函数F (x),那末它一定有无穷多个原函数,它们是形如

                          

(式中C是任意常数)的函数族,所以用记号

                                  

表示f (x)的原函数全体,称为f (x)的不定积分.

    [定积分·黎曼积分]  设在区间[a,b]上给定了函数f (x).用任意方法把区间[a,b]分成若干部分,其分点为,并设λ是      (i=0,1,2,,n1)中最大的.在每一个小区间[]上任取一点 (i=0,1,2,,n1),作和(图6.1.λ0时,如果极限

                                  

存在,那末这个极限称为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作

                                  

此时,函数f(x)称为区间[a,b]上的可积函数(黎曼可积),ab分别称为积分的下限和上限,f(x)称为被积函数,x是积分变量,”是积分号.

   [牛顿-莱布尼茨公式]  若函数f(x)在区间[a,b]上连续,或分段连续,则f(x)[a,b]上有原函数,设F(x)f(x)[a,b]上的一个原函数,则

                                                  

这称为牛顿-莱布尼茨公式,或微积分学基本定理,它指出了定积分与不定积分的内在联系.

   [可积函数及其性质]

   1° 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)是可积的.

   2° 若函数f(x)[a,b]上有界,且只有有限多个间断点,则f(x)是可积的.

   3° 单调有界函数一定是可积的.

   4° 可积函数一定是有界的.

   5° 若函数f(x)可积,则|f(x)|kf(x)k为常数)也可积.

   6° 若函数f(x)g(x)可积,则其和、差、乘积也可积.

   7° 若函数f(x)[a,b]上可积,则f(x)[a,b]中的任一部分区间[α,β]上也可积.反之,若把[a,b]分割成若干部分区间,并分别在每个部分区间上f(x)可积,则它在整个区间[a,b]上可积.

   [积分中值定理]��������

   1° 若函数f(x)在区间[a,b]上连续(图6.2),则在区间[a,b]内至少存在一个数ξ(a<ξ<b),使得

                                  

2° 若函数f(x)g(x)在区间[a,b]上有界且可积,f(x)连续,g(x)在区间[a,b]内不变号,则在区间[a,b]内至少存在一个数ξ(a<ξ<b),使得

                                  

这称为关于积分的第一中值定理.

3° 若函数f(x)g(x)在区间[a,b]上有界且可积,而f(x)[a,b]上是单调的,则在区间[a,b]内至少存在一个数ξ(a<ξ<b),使得

               

这称为关于积分的第二中值定理.

4° 除此条件而外,若f(x)非负单调下降(广义的),则

                                     (a<ξ<b)

f(x)非负单调上升(广义的),则

                                     (a<ξ<b)

 

二、积分不等式

 

       f(x),g(x)在区间[a,b]上可积,则有下列不等式:

       1° 若在区间[a,b]上,f(x)g(x),则

                                  

       2° ,则

                                   mM

       3°

       4° 施瓦兹不等式

                                  

       5° 赫尔德不等式  设>1>1,,则

                                  

等号只当f(x)g(x)符号固定且为正常数)时成立,当'=2时,就是施瓦兹不等式.

       6° 闵可夫斯基不等式 设r>0,则

                 (r1)

             

                                                                             r<1, f(x)g(x)[a,b]上同号)

等号只当f(x)=cg(x)(c为常数)时成立.      

       7° 贝塞耳不等式 设n为正整数)在[a,b]上为一正规正交系:

                                  

                                  

       8° 哈代不等式 设f(x)在[0,∞)上可微且上升,f '(x)连续,f(0)=0p>1,则

                                  

等号只当f(x)≡0时成立.

 

三、原函数的求法

 

       1.不定积分法则

          

              (a,b为常数)           (线性运算)                                                       

                                                                         (变量替换)

                                                                              (分部积分)

                                                                      (配元积分)

       2.有理分式的积分

       [化成基本真分式法] 设R(x)是一个具有实系数的真分式,则R(x)的积分可化成它分解出的基本真分式(第一章,§1)的积分,并且

                

式中仍为一有理函数,并且还是真分式,H(x)一般是超越函数(对数函数和反正切函数).

       [奥斯特洛格拉特斯基方法] 任一真分式的积分可以写为

                    

式中为真分式,

   

      

                                     

的系数可利用待定系数法从关系式

 

                           

中求出.

       .有理函数积分的变量替换公式表

       表中R表示有理函数

积分类型

变量替换公式

 n为整数)

 

 m,n为整数)

 

式中rn,m,…的最小公倍数

 

 

               a>0

 

 

 

               c>0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(或x=asht,

)

 

(x=acost,

)

 

(x=acht,

)

 

(或dx=achtdt

 

 

 

 

(或dx=-asintdt

 

 

 

 

(或dx=-ashtdt

 

 

 

 

积分类型

变量替换公式

(式中为分数)

 m的分母的最小公倍数,

    4.不定积分表

      表中略去积分常数,ln g(x)是指ln |g(x)|.

       [基本积分表]

            (常数)

         

lnx

            (a>0)

 

 

thx

cthx

sechx

cschx

thx

-cthx

        (a>0)

    (|x|<|a|)

 

    (|x|>|a|)

 

 

 

 

 

 

 

 

     [ax+b的有理式的积分]   

     

()

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  

  

 

 

          [的积分

 

 

 

 

    

   

 

   

 

    

 

 

 

          [的积分]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

          [的有理式的积分]

 

 

         

       [的积分]

       (a>0)

       (a<0)

     (a>0)

     (a<0)

      (a>0)

       (a<0)

      (n>0)

    (n>0)

        (c>0)

        (c<0)

        (n>1)

        (a>0)

        (a<0)

 

 

 

        (n>0)

      (a>0)

      (a<0)

      (c>0)

   (a>0,c<0)

      (n>1)

          [的积分]

       (n>0)

    (n>0,c>0)

    (n>0,c<0)

 

 

 

 

 

    ()

 

 

 

 

 

       (n>0,p>1)

 

(n>0,p>1)

          [)的有理式的积分]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

          [的积分]

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 (n>1)

 

 

 

       [的积分]

    (n为正整数)

   (n为正整数)

   (n为正整数)

 

 

(n的整数)

(n为正整数)

(n为正整数)

 

 

 

  (

          时,取正号;否则取负号.k为整数 )

  (

          时,取正号;否则取负号.k为整数 )

       [的积分]

(n为正整数)

(n为正整数)

(n为正整数)

   (n的整数)

   (n为正整数)

   (n为正整数)

 

 

 

  (

          时,取正号;否则取负号.k为整数 )

  (

          时,取负号;否则取正号.k为整数 )

          [的积分]

式中

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)

 

  

      [的积分]

f(x)

 

 

 

(n的整数)

(n的整数)

 

          [的积分]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       [的积分]

         (n>0)

(n为正整数)

(n为正整数)

         (n>0)

    (n的整数)

   

    (b,c>0)

    (b,c>0)

 

 

 

 

 

 

          [的积分]

 

 

 

 

 

          [的积分]

 

 

 

 

       (时,取正号;

        时,取负号)

(时,取正号;

时,取负号)