第五章  

 

微积分学的研究方法是极限方法,研究的对象是函数(特别是初等函数),微积分学的主要内容是微分法积分法和它们的应用.本章主要介绍极限方法以及微分法和它的应用(隐函数理论函数展开为幂级数函数的极值和作图),还介绍了函数连续性的概念和性质,以及数项级数二重级数函数项级数和无穷乘积的收敛概念和判别法.同时考虑到函数的一致连续性函数项级数的一致收敛性以及函数的可微性的概念在理论和实际上的重要性,本章着重介绍了这些概念,并举例说明这些概念的实质.另外收集了一些常见的初等函数的幂级数展开式,列表备查.

 

§1 序列与函数的极限

 

一、         序列的极限

1.基本概念

[有穷极限假定对于任意小的ε>0,都存在正整数N=N(ε),使得对于一切的n>N,不等式

|xn-a|<ε   (a为有限数)

成立,就称序列x1,x2,(简记为{xn})a为极限(或称序列收敛于a,记作

否则序列称为发散的.

[无穷极限] 假定对于任意大的E>0,都存在正整数N=N(E),使得对于一切的n>N,不等式

|xn|>E

成立,就称序列x1,x2,的极限是(或称序列发散于),记作

[部分极限(聚点)] 在已知序列x1,x2,的元素中,保持原来次序自左至右任意选取无穷多个元素,如

这种序列称为已知序列的子序列.如果

就称数ξ(或符号)为已知序列{xn}的部分极限(或聚点).

任何序列{xn},不论是有界的或无界的,都有部分极限存在.

[上极限与下极限序列{xn}的最大的部分极限(有穷或无穷)称为序列{xn}的上极限,记作

而它的最小的部分极限(有穷或无穷)称为序列{xn}的下极限,记作

 所以,一个序列{xn}如果有两个子序列不收敛于同一极限,这个序列{xn}就不收敛.如果

,即序列{xn}收敛于a,那末{xn}的任一子序列{}都收敛于a.

2.序列极限存在的判别法

[柯西准则序列{xn}的极限存在的充分必要条件是:对任意给定的ε>0,都存在正整数N=N(ε),使得当n>N时,不等式

||<ε

对一切正整数p>0都成立.

[上下极限相等序列{xn}的极限(有穷或无穷)存在的充分必要条件是:

=

[单调有界单调有界序列必有极限.

{xn}为递增序列,且xnM(n=1,2,…),则存在而且不超过M.

{x­n}为递减序列,且xnM(n=1,2,…),则存在而且不小于M.

[有有界变差]*  有有界变差序列(即存在正数c,使得||+||+

|<c,n=2,3,必有极限.

[序列对比若序列{xn}满足条件ynxnzn,且==c,则

=c

[施笃兹定理对序列,(i)nn0(n0为某一自然数)时,yn+1>yn(ii) =+,(iii) =l      (有限数或),则

==l

[加权平均序列wnk0(k =1,2,n;n=1,2),=1,对固定的k, wnk=0. 如果xn=a,                    =a

3.序列极限的基本公式

xnyn存在,则

(xnn)= xnyn


对于函数有有界变差是这样定义的:假定f (x)[a,b]上有限,在[a,b]上作分点a=x0<x1<…

   <xn-1<xn=b,作和,V的上确界叫做f (x)[a,b]上的全变差,记为.

   如果<+,那么称f (x) [a,b]上有有界变差.

(xn·yn)= xn·yn

= (yn0)

xnyn (当yn时)

4.常用序列的极限

      ===e=

          =e

          (1+1+)=e

          n(-1)= (a>0)

          =1     (a>0)

          =1

          =

           [(1+)-]=γ

式中γ=为欧拉常数.

 

二、    函数的极限

1.  基本概念

[双边极限(函数在某一点的极限)]  若对任意小的ε>0,都存在一个正数δ=δ(ε),使得对一切满足不等式0<|x-a|的值x,|A-f(x)|<ε都成立,则称数A为函数f(x)在点a的极限,记作

=A

[单边极限(左极限与右极限)]  若对任意小的ε>0,都存在一个正数,使得对一切满足不等式的值x都成立,则称数A′为函数f(x)在点a的左极限,记作

若对任意小的,都存在一个正数,使得对一切满足不等式的值x,都成立,则称数A″为函数f(x)在点a的右极限,记作

f(x)=f(a+0)=A

[无穷极限若对任意大的正数M,都存在一个正数,使得对一切满足不等式的值x,恒有

|f(x)|>M

则称函数f(x)在点a的极限是,记作

=

[局部极限若对某序列xna有等式

=B

则称数B(或符号∞)为函数f(x)在点a的局部极限(有穷的或无穷的).

[上极限与下极限局部极限中最小的和最大的分别用

来表示,它们分别称为函数f(x)在点a的下极限和上极限.

2.  函数极限存在的判别法

[柯西准则函数f(x)在点a的极限存在的充分必要条件是:对任意小的,都存在数>0,使满足

 

的任意两点x′和x(x′和x″在函数f(x)的定义域内),都有

[任意收敛序列上的极限函数f(x)在点a的极限存在的充分必要条件是:对任意收敛于a的序列{xn}(n=1,),都有

 =A

这时函数f(x)在点a的极限为A.

[左右极限相等·上下极限相等函数f(x)在点a的极限存在的充分必要条件是:左极限等于右极限,或者上极限等于下极限,即

f(a+0)=f(0)

=

[单调有界单调有界函数必有极限.

f(x)在区间(a,b)内为单调上升函数,且在区间(a,b),则f(x)必存在且不超过M.

f(x)在区间(a,b)内为单调下降函数,且在区间(a,b),则f(x)必存在且不小于M.

[函数对比,且f1(x)= f2(x)=A,则

f(x)=A

 

3.  函数极限的基本公式

f(x), g(x)存在,则

 (f(x)g(x))= f(x)g(x)

 (f(x)·g(x))= f(x)·g(x)

=  (当g(x)0时)

 

4.一些重要函数的极限

函数与图形

极限与特征

     

曲线关于y轴对称

    极限

     []

曲线关于y轴对称

    极限 

     

  渐近线  y=ex=1

     

         

         

     []

极小点   

      

[]       

     极大点   A(e, )

         B(,)

     渐近线  y=0x=0

         =0

         

[

 

 

     渐近线   y=0x=1

        

           

        

 

y轴交点O(0,0),该点切线斜率为1

      极大点   A(1,)

           B(2,)

      渐近线   y=0

         

           

  []   

          (n>0)

       曲线由两支组成

       不连续点   x=0

       渐近线     y=x+1

         

           

             

        不连续点 x=0

        渐近线   y=1x=0

             

             

            

 

5.不定式的定值法洛比达法则


洛比达法则是用来计算 0 0 等七种不定式的极限的法则 *.

   *  极限的计算除应用洛比达法则外,还可用函数的泰勒级数展开(§3.),将不定式展

      开求出极限.

[洛比达第一法则((i)函数f(x)g(x)是在区间(a,b]内定义的,(ii) f(x)=0, g(x)=0,(iii)在区间(a,b]内存在有限导数,而且0(iv)存在极限(有穷或无穷)

=K

那末                                                    ==K

又是型不定式,可再用上法求极限.

[洛比达第二法则(](i)函数f(x)g(x)是在区间(a,b]内定义的,(ii) f(x)=, g(x)=,(iii)在区间(a,b]内存在有限导数,而且0,(iv)存在极限(有穷或无穷)

=K

那末                                                    ==K

又是型不定式,可再用上法求极限。

[其他类型不定式(00]

1° 型的不定式,可先把它变成型或型,然后再应用洛比达法则。设

f(x)=0, g(x)=

如果要计算f(x)·g(x),那末可以进行变形

f(x)·g(x)==

其中的第二式在时是型不定式,第三式是型不定式.

2° 型的不定式也能变成型或型,如果要计算 [f(x)-g(x)],这里

f(x)=+, g(x)=+

那末可以进行下面的变形,把它变成型不定式:

f(x)-g(x)=

3° 对于00型的不定式,可以预先把这些表达式取对数.

y=[f(x)]g(x),y=g(x)f(x). y的极限就是型的不定式.假如用上述任一方法能求出y,比如它等于k(或+,或-),那末y就等于ek(,或0).

6.函数无穷小和无穷大的阶(符号O*,o,O,

=0,则函数称为当时的无穷小量;若=,则函数称为当时的无穷大量.

 

符号O*,o,O,

 

 

  

xa时,=()

=k

(0<<)

表示函数xa的过程中,按狭义来说,是同阶的无穷小或无穷大.

x0时,=()

(n>0)

=k

(0<<)

对于无穷小xn阶无穷小,例如,当x0时,

x→∞时, =()

(n>0)

=k

(0<<)

对于无穷大xn阶无穷大.      例如,当x时,

xa时,=o()

=0

表示当xa时,函数对于函数是较高阶的无穷小,或函数对于函数是较低阶的无穷大.

例如,当x0时,

xa时,=O()

=k

(0<)

xa时,函数无穷小的阶(在广义的意义上)不低于某正的函数无穷小的阶(或函数无穷大的阶不高于函数无穷大的阶).

例如,当x时,

xa时,

=1

称函数xa时为等价的.

例如,当x0时,有x

tanxx(a>0)

x

 

 

三、  函数的连续性

 

1.单变量函数的连续性

[函数在一点连续函数f(x)在点x0的连续性有下面几种定义方法:

定义如果f(x)=f(x0)=f(),那末f(x)在点x0连续.

定义如果f(x0+0)=f()=f(x0),那末f(x)在点x0连续.

定义3(柯西)  如果对于任意小的ε>0,都存在正数δ>0,使得当||<δ时,恒有

|f(x)-f(x0)|<ε

那末f(x)在点x0连续.

定义当自变量的改变量Δx为无穷小量时,函数的改变量Δy也是无穷小量,或者写为

=[f(x0+Δx)(x0)]=0

那末f(x)在点x0连续.

定义5(海涅)如果对任何以x0为极限的序列{xn}恒有

f(xn)=f(x0)

那末f(x)在点x0连续.

定义6(贝尔)设f(x)定义在[a,b]上,x0[a,b]内一点,记为含有x0的小闭区间(它含于[a,b]),分别记f(x)内的上,下确界为,f(x)上的振幅.当区间无限地收缩为一点时,的极限都存在,分别记为.

如果

=0

那末f(x)在点x0连续.

以上几种定义都是等价的.

[函数在一点单边连续]

f(x)=f(x0+0)=f(x0),则称f(x)在点x0右连续.

f(x)=f(x00)=f(x0),则称f(x)在点x0左连续.

[函数在一个区间上连续]如果函数f(x)定义在区间[a,b]上,它在这个区间上任一点x都连续,那末称f(x)在区间[a,b]上连续(对开区间(a,b)可用同样定义).

这里要指出,因为函数f(x)可能在区间[a,b]之外根本不存在,所以函数在端点的连续性应当理解为单边连续:在点a是右连续,在点b是左连续.

[函数的不连续(或间断)点由函数在一点连续的定义可知,间断点只能分两类:

1°  两个极限f(a)f(a+0)都存在,而等式f(a)=f(a)=f(a+0)不成立,这种间断点称为第一类间断点.

2°  上面两个极限中至少有一个不存在,这种间断点称为第二类间断点.

   [连续函数的运算]

1°  连续函数的代数和是连续函数.

2°  有限个连续函数的积是连续函数.

3°  两个连续函数的商(当分母不等于零时)是连续函数.

4°  复合函数的连续性:如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,又函数(y)也在某一个区间上连续,而该区间包含着函数y=f(x)在区间[a,b]上所取的一切值,那末复合函数[f(x)]也在区间[a,b]上连续.

[连续函数的性质]

1°  如果函数f(x)在点x=a连续,并且f(a)>0(f(a)<0),那末f(x)在点a的某一个邻域(即开区间(a-,a+),>0任意小)内的一切点都有f(x)>0(f(x)<0).

2°  函数的有界性定理  在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)一定在该区间上有界.

3°  最大最小值定理   如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,那末在这个区间上至少存在一点x,使得对应的f(x)值最大,并且也至少有一点x,使得f(x)的值最小.

4°  中间值定理    如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,f(a)=Af(b)=B,并设KAB之间的任意一个值,那末在这个区间上至少存在一点x,使得f(x)的值等于K.特别是,若A,B不同号,则在这个区间内,至少有一点x,使得f(x)的值等于零.

5°  反函数的连续性  如果函数y=f(x)在区间[a,b]上递增而且连续,又f(a)=f(b)=,那末反函数x=(y)在区间[,]上也连续.

6°  以参数表出的函数的连续性  如果函数(t)(t)在区间(,)内定义并连续,且函数(t)在此区间内是严格单调的,那末方程组

x=(t),y=(t)

在区间(a,b)内把y定义成x的 单值连续函数:

y=[-1(x)]

其中a=b=.

[初等函数的连续性一般地说,基本初等函数,,,,,,

,,以及由它们经过有限次的算术运算和复合函数运算后所得的函数,在一切使它们有意义的点都连续.

[实数集合的确界]

1°  有界集合  设有某一个实数集合E,若有一个数M,使得集合E的一切数,则称集合E是有上界的.类似地,若有一个数m,使得集合E的一切数,则称这个集合是有下界的.既有上界又有下界的集合称为有界集合.

2°  实数集合的上确界和下确界

   定义1    若有一个数,使得实数集合E中没有大于的数,但是无论>0多么小,E中总有大于-的数,则称为集合E的上确界,记作supE.若有一个数,使得集合

E中没有小于的数,但是无论>0多么小,E中总有小于+ε的数,则α称为集合E的下确界,记作infE.

定义2     实数集合的最小的上界称为它的上确界,最大的下界称为它的下确界.

以上两个定义是等价的.

3°  确界存在定理  有上界的集合必有唯一的上确界,有下界的集合必有唯一的下确界.

[函数的一致连续性]

1°  函数的一致连续性定义  设函数f(x)定义在某一区间X(闭的或不闭的,有穷的或无穷的)上,若对任意给定的ε>0,都存在一个只与有关的δ=δ(ε)>0,使得对区间X上的任意两点x1x2,只要

|x2-x1|<δ

就有不等式

|f(x2)(x1)|<ε

成立,则称函数f(x)在区间X上一致连续.

注意,函数在区间上每一点连续并不能必然地推出它在这个区间上的一致连续性.

  函数f(x)=在开区间(0,1)内每一点都连续,但在(0,1)内并不一致连续.事实上,对于任意小的δ0,令x1=δx2=2δ,则|x2-x1|=δ,而|f(x2)-f(x1)|=.这时,|x2-x1|可以任意小,但|f(x2)-f(x1)|可以任意大,所以不一致连续.

值得注意的是,在闭区间[a,b]上已不再有与此类似的情况,这就是下面的

2°  康托定理  若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则它在这区间上也是一致连续的.

3° 

=sup|f(x1)-f(x2)|

式中x1x2(a,b)内适合|x2-x1|的任意两点,函数ωf称为函数f(x)的连续模数.

函数f(x)在区间(a,b)内一致连续的充分必要条件是

2.多变量函数的连续性

[多变量函数的极限设函数u=f(P)=f(x1,,xn)定义在区域D,P0()D内一点.若对任意小的ε>0,都存在δ=δ(ε,P0)>0,使得只要PD0<ρ(P,P0)<δ(其中ρ(P,P0)PP0两点间的距离),都有

|f(P)-A|<ε

则称数A为函数f(P)P0点的极限,记作

    [n重极限与累极限上述函数f(x1,,xn)的极限,是当函数的一切自变量同时趋向于各自的极限时所得出的,称为n重极限(在n=2,时分别称为二重极限,三重极限,等等).此外,还有一种极限,它是由各个自变量依某种次序相继地各自趋向于极限所得出的,称为累极限.例如对二元函数f(x,y)来说,二重极限为,两个累极限为(先让自变量x趋于a,再让自变量y趋于b)和(先让自变量y趋于b,再让自变量x趋于a),三者不一定相等.

定理  若(i)二重极限

A=

存在(有穷或无穷),(ii)对于D内的任一y,关于x的(有限的)单重极限

=

存在,则累极限

=

必存在,而且就等于二重极限.

    对于第二种累极限有类似结论.

[多变量函数的连续性]

定义1  如果==,那末在点P0连续.

定义2  如果对任意小的ε>0,都存在正数δ>0,使得当0<ρ(P,P0)<δ时,恒有

|f(P)-f(P0)|<ε

那末在点P0连续.

定义3  当自变量的改变量Δxi(i=1,2,,n)为无穷小量时,函数的改变量也是无穷小量,或者写为

式中,那末f(x1,x2,…,xn)在点()连续.

    若函数在区域D上每点都连续,则称函数在区域D上连续.

[多变量函数的一致连续性设函数定义在某一区域D(有限的或无限的)上,若对任意给定的ε>0,都存在一个只与ε有关的δ=δ(ε)>0,使得对区域D上任意两点P1P,只要

ρ(P1,P)<δ

就有不等式

|f(P1)-f(P)|<ε

成立,则称函数在区域D上一致连续.

[多变量连续函数的性质]

1°  在有界闭区域D上连续的函数必在D上有界.

2°  在有界闭区域D上连续的函数必在D上达到一个最大值与一个最小值.

3°  在有界闭区域D上每点都连续的函数必在D上一致连续.