§6 代数数

 

    [代数数]  q为一系数为有理数的代数方程

的根,q称为代数数.通分后,q满足一有理整*系数的代数方程,因此代数数也可定义为“有理整系数的代数方程的根”.

    f(x)为有理数域上不可约多项式, ,q称为n次代数数.显然,一次代数数为有理数.

    代数数具有下列性质:

    1°  两个代数数的和、差、积、商(除数非零)仍为代数数.

    2°  系数为代数数的代数方程的根仍为代数数.

    [代数整数]  q为一首项系数为1,其他系数为有理整数的n次不可约代数方程的根,q称为n次代数整数.

    代数整数具有下列性质:

    1°  代数整数为有理数的(即一次代数整数)必为有理整数.

    2°  两个代数整数的和、差、积仍为代数整数.

    3°  首项系数为1,其他系数为代数整数的代数方程的根仍为代数整数.

    4°  q为代数数,即满足有理整系数方程

为代数整数.

    5°  qn次代数整数,q的幂 可表为

式中i为非负整数, 都为有理整数.

    6°  qn次代数数,q的幂 满足等式

式中i为非负整数, 为有理整数.

    [单位数]  q 都为代数整数,q称为单位数.

    单位数具有下列性质:

    1°  q为单位数的充分必要条件是:q为首项系数为1,常数项为 的有理整系数代数方程的根.

    2°  首项系数和常数项都为单位数,其他系数为代数整数的代数方程的根为单位数.

    [代数扩域]

    1°  单扩域  qn次代数数,则形为

 (系数为有理数)

的数的全体构成一个域.称为在有理数域Q上添加q所得的n次单扩域,记作Q(q). ,Q(q)为由代数数q经加、减、乘、除(除数非零)所生成的数的最大集合.

    2°  有限扩域  由有限多个代数数 经加、减、乘、除(除数非零)所生成的域,称为Q上的有限扩域,记作

K=Q( )

    有限扩域必为单扩域,即存在代数数q,使得

Q( )=Q(q)

q的次数称为有限扩域Q( )的次数.

    [共轭数]  qn次代数数,q满足有理数域上n次不可约多项式  

,又设 为该多项式的另外n1个根,则称 q的共轭根.

    任意代数数a Q(q),a可唯一地表为

                              (1)

式中 为有理数. ,

          

称为a的共轭数.

    [代数数的迹与矩]  a K=Q(q), , a的共轭数,则分别称

为代数数a的迹与矩,式中 (1)式定义.

    注意,这里的迹与矩是对域K而言的,矩又称为范数.它们的另一个定义是:设a的极小多项式(a为根的最低次不可约多次式)      

    ,

    迹与矩具有下列性质:

    1°  a为代数数,a的迹与矩均为有理数.

    2° a为代数整数, a的迹与矩为有理整数.a为非零代数整数, .

    3°  代数整数a为单位数的充分必要条件是: .

    4°                      S(a+b)=S(a)+S(b)

                                     N(ab) =N(a)N(b)

    [代数数域的基底与整底]

    1°  基底  Kn次代数扩域, K中一组代数数,K中任意代数数g都可唯一地表为

式中 为有理数, 称为K的一组基底.显然 在有理数域上线性无关.

    是域K的一组基底的充分必要条件是:

式中 的共轭数, j= .

    K=Q(q), K的一组基底.

    2°  整底  Kn次代数扩域, K中一组代数整数,K中任意代数整数g都可唯一地表为

式中 为有理整数, 称为K的一组整底.

    为一组使

为最小的代数整数,则这组 为一组整底.

    [二次域]  D为一无平方因子的有理整数.Q( )为二次域.Q( )中的任意代数数都可表为

式中ab都为有理数.

    D为一无平方因子的有理整数.

1,w为二次域Q( )的一组整底.

    一般n次域Q 不一定能找到代数整数w,使

构成Q(q )的一组整底.

    [高斯域]  ,Q(i)称为高斯域,它是二次域.

    高斯域中的任意数可表为

式中a,b都为有理数.a,b都为有理整数时,a+bi称为高斯整数.

    高斯域有四个单位数: ,它们的矩都为1.

    [分圆域]  m为正整数,把多项式 的所有根添加到Q上所构成的域S称为Q上的m次单位根的分圆域.

    S中存在一个m次本原单位根q (q 的根,但不是 的根(n<m),qm次本原单位根),使得S=Q(q), 构成S的一组整底.

    如果qm次本原单位根,使 也是m次本原单位根,共有 (m),这里 (m)为欧拉函数.

    [分解定理]

    1°  整除性  a,b为二代数整数, 仍为代数整数时,则称b可整除a,记作 .这时称ab的倍数,ba的因数.

    2°  结合性  若二代数整数a,b仅相差一单位数因子,则称ab是相结合的.

    显然有:  (i)  aa相结合; (ii)  ab相结合,ba相结合; (iii)  ab相结合,bg相结合,ag相结合.

    3°  不可分解  K中的代数整数a,有另外两个代数整数b,g K,且都不是单位数,使

a=bg

则称a在域K中可分解,否则称为不可分解.

    4°  分解定理  K中的任意一代数整数可以分解为不可分解的代数整数的乘积.

    如果不计次序和结合性,这种分解是唯一的,则称为唯一分解.

    高斯域的唯一分解定理成立.

    二次域中唯一分解定理成立的,现已知道有

Q( ),  D=2,3,5,6,7,13,17,21,29.

   不是所有的二次域唯一分解定理都成立,例如Q( )唯一分解定理不成立:

 



* 有理整数即通常意义下的整数,这里是为了与代数整数相区别.