§6  最小(大)值原理

 

[连续系统的最小(大)值原理] 考虑一控制系统其状态方程为

                                (1)

并满足初始条件

                                  (2)

至于终止状态 则或者是自由的,或者是满足目标集

                                (3)

性能指标为

                   (4)

式中xm分别是状态矢量和控制矢量:

n维矢函数,Rm维矢函数。

假设 , ,G(x,t),R(x,t)都是其变元的连续函数,对x连续可微,并且 有界。

假设控制矢量m(t)是容许控制,即满足下列条件:

(i)          m(t)是在闭区间[t0, tf]上的分段连续函数(即只有有限个第一类间断点,在间断点处,假定是左连续的);

(ii)        m(t)在端点t0, tf处是连续的;

(iii)      这里UR r中的有界闭集。

问题的提法  假设上面的(1),(2),(3),(4)式均已给定,要求从容许控制中求出一个控制 ,它使系统(1)满足初始条件(2)的轨线,在终止时刻tf时达到目标集(3),并使性能指标(4)取极小值(或极大值)。

为此引进协态变量(相对于状态变量 而言)。

它满足微分方程组

                (5)

作辅助函数

                    (6)

称为系统(1)的哈密顿函数。这时可把方程组(1)(5)表示为下面的形式:

 

                    (7)

称为哈密顿方程组或正则方程组。则有

最小值原理  如果 是上面所提问题的最优控制, , 是正则方程组(7)对应于 的最优轨线和最优协态变量,则有

于是可按下列步骤求解:

(1)  写出哈密顿函数和正则方程组。

(2)  求哈密顿函数的最小值,找出关系式:

                            8

(3)  把关系式(8)代入正则方程组,根据下述边界条件,对正则方程组求解两点边值问题,即可求出最优轨线 和最优协态变量

(i)  假设方程组(1)已给初始条件 和终止条件(目标集) ,则正则方程组(7)的边界条件为:

,

(ii)  假设 是给定的,没有给定目标集(3),即 是自由的,则正则方程组(7)的边界条件为:

,

其中 是性能指标(4)中的第一项。若 ,这时边界条件变为

,

(iii)  假设 是给定的,而终止状态满足目标集

并假定 维的,其中 ,则正则方程组(7)的边界条件为

,

其中 是一个 维待定的常值列矢量。以上共有 个边界条件。

其次,假定 不固定,而是自由的。这时相当于边界条件中多了一个独立参数,因此要补充一个关系式。对于边界条件为(i)(ii)的情形,补充的关系式为

对于边界条件为(iii)的情形,补充的关系式为

(4)  将求出的 , 代入关系式(8),就可求得最优控制

以上步骤也可根据问题的性质,灵活应用。

对最大值原理有类似的说法。

说明  最小()值原理描述控制系统最佳性的必要条件,它给出一个确定最优控制 的方法。这一原理是由古典变分法引伸出来的。它可以推出变分法中熟知的一切必要条件,但是,它与古典变分法相比较,这一原理的主要优越性在于,它适用于任何集合 ,特别它包含 是有界闭集的情形,而古典变方法只适用于 为开集或 的情形,因此这可以说是控制域类 的扩充。但它和变分法一样都遇到两点边值问题的困难。

[离散系统的最小()值原理]  考虑一离散型控制系统(1813)其状态方程为

                     (1)

并满足初始条件

                                    (2)

终止状态 是自由的,性能指标为

                        (3)

式中 , 分别为系统对应于时刻 的状态矢量和控制矢量,他们分别是 维和 维矢量。

问题的提法  寻求 个控制矢量 满足初始条件(2),使性能指标 取极小()值。

处理方法和连续情形相仿。引进 的协态变量 ,它是 维列矢量。构造哈密顿函数

                    (4)

这时有正则方程组

,                  (5)

,                 (6)

离散型的最小值原理  为最优控制, 为相应的最优轨线, 为相应的最优协态变量,则它们满足正则方程(5)(6)和下列条件下之一:

(i)  ,

(ii)  

同时,满足边界条件( 是预先给定的,则不要这条件)

 ( 时, )

于是可按下列步骤求解:

(1)    写出哈密顿函数(4)和正则方程(5)(6)

(2)    固定 ,对哈密顿函数 应用最小值原理的条件(i)(ii),求出关系式

                   (7)

(3)    将关系式(7)代入正则方程组(5)(6)中,并利用条件

,

把问题化为解方程组的两点边值问题。由此可以求出

(4)    将求出的 代入(7)就得到最优控制

说明  离散系统的最小()值原理除某些特殊情形外不存在。参考GSGBeveridge and RSSchechter, Opiimization: Theory and Practice 1970, Mc Graw-Hill, Inc, 257258页。