§5  非线性积分方程

 

[积分算子与线性算子]  考虑表达式

对于给定的核K(x,ξ),每个函数f(x)都有另一个函数F(x)与之对应,这种对应关系称为积分算子,记作K,

F=Kf

使得函数F=Kf存在的那些函数f的集合称为算子K的定义域。

    如果算子K满足条件

a为常数)

则称K为线性算子。

    [有界算子及其范数]  如果存在某常数M,对一切函数f都有

则称K为有界算子,式中 表示函数f的范数()。使上面不等式成立的一切M的最大下界称为算子K的范数,记作 ,它也可以定义为

    有界算子具有以下性质:

     K1K2是有界算子,则K1K2也是有界算子。

     如果对有限正方形k0(axb, aξb)上的一切x,ξ,函数K(x,ξ)是连续的,则由

定义的算子K 是有界算子。

     如果在无限区间[a,b]上,函数K(x,ξ)满足

则由

定义的算子K是有界算子。

[非线性积分方程解的存在定理]  考虑如下形式的积分方程

                                              (1)

前几节中解线性积分方程的方法对于非线性积分方程是不适用的。下面仅列出几个解的存在性定理。

    定理1  假定K(x,ξ)对单位正方形k0(0x1,0ξ1)上的一切x,ξ是连续的,设ôK(x,ξ)ôC (C为常数) 对单位正方形k0上的一切ξ, t也是连续的,并且

        (A为常数)

又假定 满足李普希茨条件

式中B是与ξ无关的常数。那末当 时,积分方程(1)L2[0,1]*中有唯一的解。

    定理2  假定K(x,ξ)对单位正方形k0上的一切x,ξ是连续的,设

            C为常数)

满足

             B为常数)

并对任意ε>0,都有δ=δ(ε)使得

     (当 时)

式中 。那么当 时,积分方程(1)L2[0,1]*中至少有一个解。

    定理3  假定K(x,ξ) 都是它们的自变量的连续函数,设SL2[0,1]中满足

   M为常数)

的函数 的全体。假定

  C为常数)

(一切

并对任意ε>0,都存在δ=δ(ε),使得

     (当 时)

那末当 时,积分方程(1)S中至少有一个解。

    这个定理的条件要求K(x,ξ)是连续的,事实上可以证明,只要核K(x,ξ)是平方可积的就有同样的结论。

    定理4  假定 满足定理3所述的条件,并设K(x,ξ)满足

                         

那末当 时,积分方程(1)S中至少有一个解。

 



* 表示在区间 上一切平方可积的函数的全体