§3  沃尔泰拉积分方程

 

    [第二类沃尔泰拉积分方程]  一维的第二类沃尔泰拉方程为

                               1

这是Fr方程的特殊情形(当ξ>x时,K(x,ξ)=0)。假定F(x)在区间[a,b]上连续, K(x,ξ)在正方形k0  (axb,aξb)上连续,且当(ξ>x)时,

K(x,ξ)=0

因此,当K(x,x)0时,核有第一类不连续点x=ξ

积分方程(1)的解用λ的幂级数表示为

                             2

对函数yn(x)有下列递推公式:

     

设在有限区间或正方形上,连续函数F(x)Kx,ξ)满足

  

式中m, M为常数。因此当 充分小时,级数(2)在[a, b]上绝对且一致收敛,其和y(x)是连续函数且满足方程(1)。

也可以作预解核

                                 3

式中叠核Kn(x,ξ)由下面递推公式计算:

  

且从此得出当ξ>x时,Kn(x,ξ)=0。事实上,若ξ>x,ξ1<ξ,因而

K(ξ,ξ)=0

可证明级数(3)对一切λ值绝对且一致收敛。于是,沃尔泰拉方程(1)的预解核是整函数,并且对任何λ有如下形式的唯一解:

所以沃尔泰拉方程没有特征值,就是说齐次方程

对任何λ只有平凡解y(x)0。因此,若作方程(1)的Fr分母 ,则可发现它根本没有零点。

[特殊沃尔泰拉方程]  u(x),v(x)是定义在x0上的两个连续函数,由积分

所定义的函数称为函数的u(x)v(x)的卷积(或褶积)。

根据卷积的性质(即uv的卷积的拉普拉斯变换等于uv的拉普拉斯变换之积)可把解特殊沃尔泰拉方程(其核只与两个变量之差有关):

的问题变为决定一个拉普拉斯变换的反演变换问题。为此,将上式两边各取拉普拉斯变换,并利用卷积的性质,有

查拉普拉斯变换表或用其他方法便可以确定y(x)

    [第一类沃尔泰拉积分方程]    第一类沃尔泰拉积分方程

                                            1

可变为第二类沃尔泰拉积分方程。在核 是连续可微的假定下,有两种变换方法。一种方法是,对(1)两边求导,便得

K(x,x)0,这个方程可化为

式中

     

另一种方法是,设

则方程(1)化为

分部积分得

K(x,x)0,这个方程可改写为

式中

    

[阿贝耳积分方程]    形如

                                                              (1)

的沃尔泰拉积分方程称为阿贝耳积分方程。对给定函数F(x)适当加以限制下,积分方程(1)可用间接方法求解。(1)式除以 s是一参数),然后两边积分,得

把上式右边的积分次序交换,并改变积分限,化为

                      (2)

x=(s-ξ)t+ξ,则有

代入(2)式有

或者写为

把这个等式求导,便得所求的解为

F(x)不能使这个等式的右边存在且连续,则方程(1)没有连续解。