§2  奇异积分方程

 

一、 奇异积分方程的定义与例子

 

1°  如果积分方程的积分是积分区间为无限(或核K(x,ξ)为无界函数)的广义积分,那末称该方程为奇异积分方程,例如

                                               (1)

                                                        (2)

                                             (3)

都是奇异积分方程。

     方程(1)的右边所定义的函数可以看作y(x)的傅立叶正弦变换。若当x>0时,F(x)逐段可微且 存在,则方程(1)有唯一的反演公式:

  x>0

       考虑齐次积分方程          

                                                     (4)

       从已知的公式

    (x>0,α>0)

可知 确实是特征值。当 时,对任意正常数α,函数

    (x>0)

满足方程(4);而当 时,对任意正常数α,函数

    (x>0)

也满足方程(4)。于是这两个λ值是无穷重的特征值,即每个值对应无穷多个特征函数。这个事实与Fr方程的任一特征值只对应有限个独立特征函数是大不相同的。

     由方程(2)右边所定义的函数Fx)是函数yx)的拉普拉斯变换。因为不是一切函数都能作拉普拉斯变换,两个不同函数不能有同一个拉普拉斯变换。所以对一个给定函数F(x),若(2)存在一个解,则解是唯一的。

考虑齐次积分方程

      x>0                5

根据伽马函数的定义有

     

代替a,得

  

由上面两等式推出

                                                                    

如果令

        

那末上式表明,函数

    x>0

是积分方程(5)的解。

因此,对参数a的任一值 ,有一个λ值对应,并且决定了方程(5)的一个非平凡解。

利用恒等式

            

            

由此推出,在区间 内的一切λ值都是奇异积分方程(5)的特征值。

    还能证明在区间 内的一切λ值也是奇异积分方程(5)的特征值。

   积分方程(3)的积分区间是有限的,但是核是无界函数,这种奇异积分方程将在本节二和§3中考虑。

 

二、 具有柯西核和希尔伯特核的积分方程

 

[柯西核与希尔伯特核]

定理  L是任一光滑闭曲线, 是定义在L 上且满足具有指数a 的李普希茨条件*的一个函数,当zL的内部趋于L上任一点t时,则柯西型积分

                                            1

趋于极限值

zL的外部趋于L上任一点t时,积分(1)趋于相应的极限值

上面两个等式中的积分都是广义积分

    表达式

                       

称为柯西核,式中ζtL上的任意两点。

    表达式

                         

称为希尔伯特核,式中sσ都是实变量,并在闭区间 内变动。

柯西核和希尔伯特核之间有很简单的关系。设L是一简单闭曲线,它是有连续曲率的一条光滑曲线。设L的参数方程是

设相应的参数s在闭区间 内变动。令t=x+iyt=x(s)+iy(s)L的方程可写作t=t(s)。设ζL上任一点,则有一参数值σ,使 。于是不难证明:

式中P(s,σ)是两个变量s σ的连续函数,这函数满足具有某指数的李普希茨条件。

[具有希尔伯特核的奇异积分方程] 考虑如下形式的方程:

                       (2)

式中ab是常数。

假定核K(s,σ)和自由项Fs)都满足李普希茨条件。

如果K(s,σ)0,则所考虑的方程是

                                                 (3)

a2+b20,则这个方程的解是

         (4)

a2+b2=0,则方程一般没有解。

注意特殊情况a=0.不防设b=1,则(3)变为第一类Fr方程

                 

这时,(4)式的解没有用,但方程(3)有解的充分必要条件是:

                           

解的形式是

                   

式中C是任意常数。

在一般情形下,可以证明方程(2)与一般形式的Fr方程等价,于是所考虑的方程归结到解Fr方程。

具有希尔伯特核的奇异积分方程的一般形式是

       

式中a(s)b(s)是变量s的函数。若a(s)b(s)满足李普希茨条件,上式可化为Fr方程,但是二者可能不等价。

[具有柯西核的奇异积分方程]  考虑如下形式的方程:

                                        5

式中ab是常数,L是闭曲线。

a2-b20,则(5)的解为

具有柯西核的奇异积分方程的一般形式是

   

它也可化为Fr方程。若ab是常数,则得到的Fr方程与上面方程等价。在一般情形下需加补充说明。

 

 



*如果存在两个常数Ka0<a1,使对区间[a,b]上的任意一对值 下面的不等式成立:

                 

则称函数f(x)满足具有指数α的李普希茨条件。