第十五章  积分方程

   

积分方程论是泛函分析的一个重要分支,它是研究数学其他学科(例如偏微分方程边值问题)和各种物理问题的一个重要数学工具。本章叙述线性积分方程,重点介绍弗雷德霍姆积分方程的性质和解法;并简略地介绍了沃尔泰拉积分方程以及一些奇异积分方程;此外,还扼要地叙述积分方程的逐次逼近法和预解核,并举例说明近似解法;最后考察了一个非线性积分方程。

 

                                   §1 积分方程一般概念与弗雷德霍姆方程

 

. 积分方程一般概念

 

1. 积分方程的定义与分类

[线形积分方程]  在积分号下包含未知函数y(x)的方程

                                 (1)

称为积分方程。式中α(x),F(x)K(x,ξ)是已知函数,λ,a,b是常数,变量x和ξ可取区间(a,b)内的一切值;K(x,ξ)称为积分方程的核,F(x)称为自由项,λ称为方程的参数。如果K(x,ξ)关于x,ξ是对称函数,就称方程(1)是具有对称核的积分方程;如果方程中的未知函数是一次的,就称为线性积分方程,方程(1)就是线性积分方程的一般形式;如果F(x)0 ,就称方程(1)为齐次积分方程,否则称为非齐次积分方程。

[一维弗雷德霍姆积分方程(Fr方程)]

第一类Fr方程

第二类Fr方程

第三类Fr方程

[n维弗雷德霍姆积分方程] 

称为n维弗雷德霍姆积分方程,式中Dn维空间中的区域,P,P1ÎD它们的坐标分别是(x1,x2,L,xn) ,a(P)=a(x1,x2,L,xn),F(P)=F(x1,x2,Lxn)K(P,P1)=K(x1,x2,L,xn, 是已知函数,f(P)是未知函数。

关于Fr方程的解法,一维和n(>1)维的情况完全类似,因此在以后的讨论中仅着重考虑一维Fr方程。

[沃尔泰拉积分方程]  如果积分上限b改成变动上限,上面三类Fr方程分别称为第一、第二、第三类沃尔泰拉积分方程。

由于第三类Fr方程当a(x)(a,b)内是正函数时,可以化成                                                                                        

它是含有未知函数 为积分方程的核的第二类Fr方程。所以本章重点研究一维第二类Fr方程。

2. 积分方程与微分方程之间的关系

某些积分方程可化为微分方程,也可从微分方程推导出积分方程。先来考虑二阶线性微分方程的初值问题:

                             2

若从方程(2)中解出 ,然后在区间(a,x)上对x求积分两次,利用初始条件,经过简单的计算不难得出*

         

上式就可写为如下的形式:

                                                  (3)

这是一个第二类沃尔泰拉方程,核Kx的线性函数。

例1         初值问题

                                                   (4)

变为积分方程

                         (5)

反之,应用积分号下求导法则,微分两次就可把积分方程(3)化为微分方程(2)。在(3)及其第一次求导的结果中令x=a,就得给定初始条件。在例1中,对(5)式求导,得出

                           (6)

再求导一次得出原微分方程(4),并从方程(6)(5)给出初始条件

y(0)=1,  

对于边值问题,方法类似,先考虑一个简单的例子。

例2         从问题

出发,积分两次,导出关系式

从此立刻可知条件y(0)=0成立。从第二端点条件y(a)=0决定C

所以有关系式

                      (7)

则方程(7)变为

                                             (8)

这是第二类Fr方程。要从这个积分方程回到微分方程,只需对方程(8)求导两次,就得到

在积分方程(7)中,令x=0x=a,可以直接推出边值条件y(0)=y(a)=0

注意:在这个例中,

  x=ξ处不连续,并当x增加而过ξ时有一跳跃-1

  Kx的一个线性函数,即满足 ,且K 在端点x=0,x=a处等于零。

  K(x,ξ)=K(ξ,x),即核是对称的。

如果利用类似的方法,对更一般的具有齐次端点条件的二阶齐次方程的边值问题:

                      

则除A=0外,可得在x=ξ不连续的一个核。

 

二、格林函数及其物理意义

 

[格林函数]  在区间[a,b]上,考虑微分方程

Ly+Φ(x)=0

的边值问题,式中L是微分算子:

齐次边界条件为在端点x=a, x=b处,满足 ,其中α,β为常数。

为了得出这个问题解的形式,首先构造函数G,使对一给定数ξ

并且满足条件:

(i)  函数G1G2在它们的定义区间上满足LG=0,即当x<ξ,LG1=0;x>ξ时,LG2=0

(ii)  函数G满足边界条件,即G1满足在x=a的边界条件,G2满足在x=b的边界条件。

(iii)  函数Gx=ξ连续,即G1(ξ)=G2(ξ)

(iv)  G的导数以x=ξ为一不连续点,其跳跃是 ,即

                       

可以证明,若以ξ为参数的这个函数G存在,则原问题的解有如下的形式:

                                                (2)

例如G(x,ξ)可取

                                                   (3)

式中A是由关系式

决定的一个常数,u(x)Ly=0满足在x=a处所给定的齐次边值条件的一个解,v(x)是在x=b处满足边值条件的一个解。则G(x,ξ)显然满足条件(i)~(iv)

此外,还可证明,对由(3)定义的G(x,x),由关系式(2)确定的函数y满足微分方程(1)并且满足u(x)x=av(x)x=b所规定的相同的齐次边界条件。

满足条件(i~(iv)或由(3)式所定义的函数称为与微分表达式Ly和边界条件相联系的格林函数。在许多物理问题中,这个函数具有简单的物理意义,将在下一段中说明。

[线性积分方程的一个典型实例]  考虑一条长为l的有弹性的弦,假定在平衡位置时,弦的位置在Ox轴的线段Ol上。在点x施加单位力,于是弦的每一点得到一个离差,在点x处所产生的离差以G(x,x)表示(图15.1)。函数G(x,x)为两点(xx)函数,在点x施加外力,在点x计量离差,称G为影响函数。

如果弦的两端固定在x轴上A,B两点,弦的张力为T0,则在点x外处施加的单位力作用下,弦成图15.1所示的形状。根据虎克(Hooke)定律与力的平衡条件,在点x处有

这就是弦的影响函数。

从能量守恒定律可导出G(x,x)的互易原理:在点x处施加外力在点x处产生的离差等于在点x处施加大小相同的力在点x处产生的离差,即

G(x,x)=G(x, x)

如果在弦上施加的力F是连续分布的,并设线性强度是p(x),则作用于弦上点xx+Dx之间的一小弦段的力就接近于p(x)Dx。把引起弦变形的这些力元素相加,便得弦的形状

  设在某个力的作用下,弦成已知形状y=y(x),求定力分布强度p(x),就得到含未知函数p(x)的第一类Fr积分方程

                                                      (1)

  设作用力随时间t改变,且在点x的强度是

        p(x)sinw t                   (w >0)

则弦的运动是由方程

                             y=y(x)sinw t

描写的周期运动。

r(x)为弦在点x的线性密度,则在时刻t,xx+Dx之间的小弦段除受力p(x)sinw tDx的作用外,还受惯性力

                     sinw tDx

的作用,则等式(1)可化为如下的形式:

                                     (2)

式中

                       

K(x,x)=G(x,x)r(x),           l=w2

如果函数p(x)给定,那么F(x)也就给定,这样积分方程(2)就是确定函数y(x)Fr方程。注意,由于F(x)的定义,有

F(0)=F(l)=0

若密度r(x)=r是常数,而F(x)有二阶的连续导数,则方程(2)的解为

              (3)

式中

(3)式微分两次就得到

另一方面,可以证明这个微分方程的任一在x=0x=l处等于0的解是积分方程(2)的解。

 

三、     具有可分离核(退化核)的Fr方程

 

    [可分离核(退化核)]  若核K(x,x)可分解为如下的形式:

则称K(x,x)为可分离核或称为退化核。不妨假定n个函数fk(x) (k=1,2,L,n)在有关区间上是线性无关的。

例如,如果核是关于xx的任一多项式,那么这个核就是退化核,核sin(x+x)也是退化核。

[具有可分离核的第二类Fr方程解法]  具有可分离核的第二类Fr方程

                                   (1)

                                   (2)

的解法如下,首先设

       (k=1,2,L,n)

于是给定积分方程(1)的一切解应取这个形式。因此问题归结为求出常数c1,c2,L,cn

再用gi(2)式两边且积分,令

    i=1,2,L,n ,  j=1,2,L,n

c1,c2,L,cn满足方程组

     i=1,2,L,n

                                       3

矩阵形式为

                       I-lAc=b

式中In阶单位矩阵,A=(aij),c= (c1,c2,L,cn)t, b= (b1,b2,L,bn)t。这个方程组存在唯一解的充分必要条件是:方程的系数行列式

                            D=detI-lA¹0

如果F(x)º0,bi=0(i=1,2,Ln),那末方程(3)为齐次方程组。因此,D¹0时,y(x)º0是积分方程(1)的平凡解(零解),且是唯一解。当D=0时,至少有一个ci可以任意指定,其余的cj可以求出,于是积分方程(1) 存在无穷多个解。

使D=0l值称为特征值。齐次积分方程的任一非平凡解称为对应于积分方程的特征函数。

如果对于l的一个给定的特征值,可以从常数c1,c2,L,cn中任意指定r个,那么可得到r个线性无关的对应特征函数。

如果F(x)不恒为零,但与g1(x), g2(x), L,gn(x)正交,即bi=0 (i=1,2,Ln)。那末方程组(3)仍为齐次的,以上的讨论也适用,除非这里积分方程的解也包含函数F(x)。这样平凡值 c1= c2=L= cn=0导出解y=F(x)。对应于l的特征值的解是F与特征函数的任意倍数之和。

最后,如果(3)式右边的bi至少有一个不为零,当行列式D¹0时,方程组(3)存在唯一的非平凡解,于是可得到积分方程(1)的唯一的非平凡解,当D=0时,则方程(3)或者是不相容的,这时积分方程(1)没有解;或者n个方程中至少有两个是相同的,这时积分方程(1)有无穷多个解。

  解积分方程

                                       (1)

  可把这个方程改写为

                  y(x)=l(c1-3c2x)+F(x)                               (2)

式中

决定c1,c2的方程组是

                                         (3)

其系数行列式为

则积分方程(1)存在唯一解的条件是l¹±2。由(3)解出c1,c2并代入(2)得到(1)的解。特别,若F(x)=0, l¹±2,则唯一解是平凡解y(x)=0。数λ=±2为问题的特征值。

λ=2,则方程组(3)

这两个方程是不相容的,除非函数F(x)满足条件

这时两个方程相同。

λ=-2,则方程组(3)

这两个方程也是不相容的,除非函数F(x)满足条件

这时两个方程也是相同的。

现在具体讨论积分方程(1)的解。

  先考虑齐次方程(即F(x)=0)的情形。若l¹±2,则唯一解是平凡解y(x)=0

λ=2时,代数方程组只给出一个条件c1=3c2。这时,解是

y(x)=c1(1-x)

式中c1=3λc2=6c2是任意常数,1-x是对应于特征值λ=2的特征函数。

λ=-2时,解是

y(x)=c2(1-3x)

式中c2=λc1=-2c1是任意常数,1-3x是对应于λ=-2的特征函数

方程(2)表明原积分方程(1)的任一解表示为如下形式:

y(x)=F(x)+c3(1-x)+c4(1-3x)

式中 。于是推出原积分方程(1)的任一解可以用特征函数的某一线性组合与F(x)的和来表达。

在非齐次的情形(即F(x)不恒等于零)下,若l¹±2,则积分方程(1)存在唯一解。

λ=2时,积分方程(1)没有解,除非在区间[0,1]F(x)正交于λ=2所对应的特征函数1-x*,

在此条件下,再利用c1-3c2= ,给出积分方程(1)的解。

式中c1=6c2是任意常数,因此,这时存在无穷多个解。

类似地,当λ=-2时,积分方程(1)没有解,除非在区间[0,1]F(x)正交于1-3x,

这时存在如下的无穷多个解:

式中c2=-2c1是任意常数。

 

、希尔伯特-施密特的理论

 

当齐次Fr方程的核K(x,ξ)不可分离,特别,K(x,ξ)对于x>ξx<ξ,分别由不同的分析表达式给定时,其特征值一般有无穷多个λn(n=1,2,L),每个特征值对应的特征函数除一个乘数外是确定的;在例外的情形,一个给定的特征值lk可以对应于两个或更多个独立的特征函数。本段将介绍这种特征函数的某些性质。

[具有对称核的Fr方程的性质]  如果在实核中交换它的变量时,它本身的值不变,这个核就叫做对称核。

具有对称核的齐次Fr方程的特征函数系是正交的。

具有实对称核的Fr方程的特征值都是实数。

注意,核不对称的Fr方程可以具有虚的特征值。

[希尔伯特-施密特定理]  Φ为一平方可积函数,则形如

的函数f(x),可由对称核齐次Fr方程

[a,b]上的特征函数y1(x), y2(x),L的线性组合表达,如果特征函数有无穷多个,那末所得的无穷级数在区间[a,b]上绝对且一致收敛。

[施密特公式]  考虑非齐次第二类Fr方程

式中K(x,x)是在定义区间上平方可积的对称核,并假定在正方形k0(axbaξb)上是两变量x,ξ的连续函数,F(x)是已知的一致连续函数,y(x)是未知函数,而λ是参数,则有施密特公式

         λλn ,即λ不是特征值)                 (1)

右边的级数是绝对且一致收敛的,式中Fn由下式决定:

                 n=1,2,L                     (2)

[核的展开定理]  一个对称核K(x,x)可展开为级数

                           

这个级数对任意固定的x,有

                  

    [具有非对称核的积分方程]  设核K(x,x)不是对称的,但可表为如下形式

K(x,x)=r(x)G(x,x)

式中r(x)在(a,b)内连续且不变号,而G(x,x)是对称的,这时有以下性质:

  对应于不同特征值lmln的两个特征函数ym(x)yn(x)[a,b]上关于权函数r(x)是正交的,即

  K(x,x)的特征值都是实数。

  若非齐次第二类Fr方程有一个解,则这个解由(1)给出,并以权函数r(x)去乘(2)式两边所包含的被积函数。

[具有埃尔米特核的积分方程]  设核K(x,x)为一复核,如果

则称K(x,x)为埃尔米特核,式中 表示K(x,x)的共轭复函数。具有埃尔米特核的积分方程有以下性质:

  对应于不同特征值lmln的两个特征函数ym(x)yn(x)[a,b]上是按埃尔米特意义正交的:

                     

  [a,b]上与埃尔米特核相联系的特征值都是实数。

  设特征函数按埃尔米特意义是标准化的:

                  

如果非齐次第二类Fr方程有一个解,那末这个解由(1)给出,并且(2)式改为

     n=1,2,L

[具有反对称核的积分方程]  K(x,x)满足条件

K(x,x)=-K(x,x)

则称K(x,x)为反对称核,这时iK(x,x)是埃尔米特核。因此,具有反对称核的积分方程

如果以li代替l,则得到具有埃尔米特核的积分方程

由此可见,具有反对称核的积分方程必有特征值,而且都是纯虚数。

[伴随核与自伴随核]  u(x)是一复核K(x,x)(它不一定是埃尔米特核)对应于特征值l的一个特征函数,v(x)是核 对应于特征值m的一个特征函数,若 ,则

这里 称为K(x,x)的伴随核。如果 = K(x,x),那么K(x,x)称为自伴随核,显然实对称核与埃尔米特核都是自伴随核。

 

五、第二类Fr方程的逐次逼近法与诺伊曼级数解

 

[逐次逼近法]  在某种情形下,第二类Fr方程可用逐次逼近法来解。为此,设方程

                                              (1)

的解可用l的幂级数来表达:

                    y(x)=y0(x)+y1(x)l+y2(x)l2+L                      (2)

   如果级数(2)在区间[a,b]上关于x是一致收敛的,那末把它代入(1)中,可逐项积分,比较l的系数就得到确定yn(x)的递推公式

        y0(x)=F(x),      (n=1,2,L)             (3)

式中yn(x) (n=1,2,L)都是连续函数。若 充分小,则级数(2)关于x绝对且一致收敛,于是级数(2)是连续函数并且是积分方程(1)的解。

[叠核 × 预解核 × 诺伊曼级数解]  K(x,x)为核,经递推公式

K1(x,x)=K(x,x),       (n=2,3,4,L)               (4)

产生的Kn(x,x)称为已知核K(x,x)n次叠核。它满足下面公式

式中p,q为任意正整数。

由于F(x)K(x,x)分别在[a,b]上和k0(axbaξb)上连续,所以各有极大值mM

   

时,级数 k0内绝对且一致收敛,记作

                                              (5)

如果用自由项F(x)来表达yn(x),则由(3),(4)推出

并把它代入级数(2)得到

                                       (6)

因为级数(5)k0内一致收敛,所以对[a,b]上任一固定值x,它在区间内关于x一致收敛,故得积分方程(1)的解

                            (7)

式中不依赖于自由项F(t)的函数R(x,x ;l)称为核的(或Fr方程的)预解核,级数(5)称为诺伊曼级数。

[存在性与唯一性定理]  如果把级数(5)改写为

(5)上式化为

改变符号可写为

因此,当把方程(1)F(x)换为K(x,y)时,上式表明存在预解核R(看作两个变量x,y与参数l的函数)是方程(1)的唯一解。

  举例说明预解核的实际算法。设积分方程(1)

K(x,x)=1-3xx

由公式(4)算出它的各次叠核:

所以 ,从此容易推出 n3,于是有

     

值得注意的是,由此式可以给出一切λ值(λ=±2除外)的预解核,但相应的诺伊曼级数只当 时才收敛。

 

六、弗雷德霍姆的理论

 

[Fr方母]  预解核R(x,ξ;λ)可以用关于λ的两个幂级数之比来表达,这两个级数对一切λ值都是收敛的。

若预解核表成

                                         (1)

式中

                      (2)

                                        (3)

Δ(λ)称为Fr分母,它与变量x,ξ无关。式中系数cn与函数Dn(x,ξ)可由下列递推公式逐次算出:

   

     

               LLL

        

那末方程

的解可将(1)代入上段(7)式中得到,其形式为

                                           4

K(x,x)是可分离时,这个结果与本节三中所得到的解一致,这时级数(2)(3)都只包含有限项。

更一般地,若级数(2)(3)之比用关于l的幂级数(由除法或其他方法)来表达,结果将化为上段的(6)式的级数形式,而它只对充分小的l 值收敛;但是(4)中最后一项的分子和分母的级数展开式对l的一切值都收敛。

分母D(l)只当l取一特征值时等于零,在这个情形下,Fr方程或者无解或者有无穷多个解,并且(4)不再成立。

[D(l)的零点与Fr方程]  应用存在性与唯一性定理,有以下结论:

  l不是D(l)的零点,则对任意的F(x),(4)式是Fr方程的唯一解。

  函数D(l)的一切零点都是预解核的极点。

  lcD(l)的零点,则齐次方程

有非零解。

于是D(l)的一切零点都是上面积分方程的特征值,就是说,这时齐次方程

                                          (5)

有非零解。若l不是D(l)的零点,则由1o,非齐次Fr方程对任意的F(x)有唯一解,特别,这时上面齐次方程只有零解,即

lD(l)的零点,则它是特征值,若l不是D(l)的零点,则它不是特征值,于是得到

  积分方程的特征值都是D(l)的零点。

  l平面的任何有限区域内只有有限个特征值。

[转置积分方程]  形如

                                    (6)

的方程叫做Fr方程

的转置积分方程,它的相应的齐次方程为

                                            (7)

这个方程的核记作

K0(x,x)=K(x, x)

转置积分方程具有以下性质:

  齐次方程(5)与它的转置方程(7)或同时仅有零解,或同时有非零解。

  齐次方程(5)与它的转置方程(7)有相同个数的线性无关的解。

  l是特征值,则非齐次Fr方程可解的充分必要条件是:自由项F(x)满足条件

式中 是转置方程的任何特征函数,即齐次方程(7)的任何解。若这个条件满足,则Fr方程有无穷多个解,而一切这样的解取形式

式中y0(x)Fr方程的任意特解, 为方程(5)r个非平凡的线性无关的解,c1,c2,L,cr为任意常数。

    应当指出,上式结果与n个变量的n个线性代数方程组的关于解的存在和唯一性的对应结果完全类似。

                                         

 



* 在计算过程中应用了公式

         n2

时成立

* 在下一段会看到,这个情形是原积分方程中核K(x,ξ)=1-3xξ  的对称性的一个推论。