§5 稳定性理论大意

 

    稳定性理论研究的是当微分方程右端函数与初始条件发生变化时,解的变化情况.

 

一、 稳定性的概念

 

    [解的稳定与不稳定]  设微分方程组

满足初始条件 的解是 .

    如果任意给定ε>0,总存在相应的正数δ=δ( t0  ,ε),使得只要初始值 满足

此微分方程组相应的解 (i=1,2,,n)对所有t>t0就满足

则称解 是稳定的.

    简单地说,如果初始值靠近某解初始值的所有解当t>t0 时总靠近某解,就说某解是稳定的.

    如果对于任意给定的ε>0,不管δ>0取得多么小,总存在满足

的初始值 τ>t0,它相应的解 不满足条件

则称解 是不稳定的.

    如果 稳定,并且初始值满足

的所有解 都满足

则称 是渐近稳定的.

    [问题的简化]  给定方程组

为了研究它满足初始条件 的解 的稳定性,必须考察别的解 与它的偏差.今令

原方程组便变为如下形式:

  (1)

的稳定性归结为方程组(1)的零解xi0  (i=1,2,,n) 的稳定性.

    任何微分方程组的常数解常称为它的平衡点(奇点).所以(1)的零解

是平衡点.

    如果任意给定ε>0,总存在相应的正数δ=δ( t0  ,ε),使得只要初始值满足

(1)的相应解 对所有t>t0就满足

则称(1)的平衡点 是稳定的.

如果进而满足条件

则称平衡点 是渐进稳定的.

    如果不论正数δ选得多么小,对于预先给定的正数ε,总存在满足

的初始值 τ>t0,它相应的解 不满足条件

则称(1)的平衡点 不稳定.

    [相空间]  给定方程组

(x1,x2,,xn)的空间为此方程组的相空间,特别当n=2时,称为相平面.当方程组右端函数不显含t时,它的解作为相空间的曲线,称为轨道.在其他情况下,解曲线常称为积分曲线.

 

二、 稳定性问题的解法

 

    [常系数齐次线性微分方程组平衡点的稳定性问题]  为了简便起见,只研究含两个未知函数的方程组

式中a11,a12,a21,a22都为实数,且

    从特征方程

算出特征根λ1λ2,依次代入下面方程组:

分别确定出两组解 1, 2 .

    这时线性方程组的平衡点x0,y0的稳定性可分下列几种情况讨论.

    1°  特征根是实数:

    通解的形式是

式中c1,c2为任意常数.

    (i)   1<0, 2<0

    零解是渐近稳定的.轨道形状如图13.1(a)箭头表示t增大的方向,下同).这种类型的平衡点(0,0)称为稳定结点.

    (ii)  1>0, 2>0

    零解是不稳定的.轨道形状如图13.1(b).这种类型的平衡点(0,0)称为不稳定结点.

    (iii) 1>0, 2<0

    零解是不稳定的.轨道形状如图13.1(c).这种类型的平衡点(0,0)称为鞍点.

     

(a)                      (b)                       (c)

13.1

    2°  特征根是复数:

    通解的形式是

式中c1,c2是任意常数,c1*,c2*c1,c2的线性组合.

    (i)   1,2=p iq, p<0, q 0.

    零解是稳定的.轨道形状如图13.2(a).这种类型的平衡点(0,0)称为稳定的焦点.

    (ii)  1,2=p iq, p>0, q 0.

    零解是不稳定的.轨道形状如图13.2(b).这种类型的平衡点(0,0)称为不稳定的焦点.

    (iii) 1,2= iq, q 0.

    零解是稳定的.轨道形状如图13.2(c).这种类型的平衡点(0,0)称为中心,中心是稳定的.

13.2

    3°  特征方程有重根:

    通解的形式是

    (i)   1= 2<0

    零解是渐近稳定的.轨道形状如图13.3(a).这种类型的平衡点(0,0)称为稳定的退化结点.

    如果 .零解是稳定的结点,称为临界结点.轨道形状如图13.3 (b).

13.3

    (ii)  1= 2>0

    零解是不稳定的.轨道形状如图13.3(a)(b),但箭头的方向相反.这种类型的平衡点(0,0)称为不稳定的退化结点与不稳定的临界结点.

    综合上述各种情况可得如下结论:如果特征方程的根都有负的实部,那末零解是稳定的,而且是渐近稳定的;如果特征方程有一个具有正实部的根,那末零解是不稳定的.

    这个结论,对一般的常系数齐次线性微分方程组

也是成立的.

    定理  如果常系数齐次线性微分方程组的特征方程

所有的根的实部都是负的,则零解是渐近稳定的;如果特征方程的所有根中至少有一个实部为正的根,则零解是不稳定的.

    [按一次近似判定稳定性]  考虑方程组

式中aij (i,j=1,2,,n)是常数,Ri(x1,x2,,xn) (i=1,2,,n) 来说是不低于二阶.

    其一次近似方程组为

研究一次近似方程组的特征根 i  (i=1,2,,n)的各种情况可以判定稳定性.有两个基本定理:

    第一定理  如果一次近似方程组的所有特征根都具有负的实部,那末原方程组的零解是渐近稳定的.

    第二定理  如果一次近似方程组的特征根至少有一个具有正实部,那末原方程组的零解是不稳定的.

    这两个定理包括了所有可以用一次近似方程组来研究原方程组零解的稳定情况(称为非临界情况).至于至少有一个实部为零的根,而其他各根都有负的实部的临界情况,方程组右边的高阶项对于零解的稳定性起着重要的作用,因而一般不可能借一次近似方程组来研究稳定性问题.

    [胡尔威茨判别法]  它是直接利用特征方程的系数所构成的行列式的某些性质来判别常系数线性微分方程组零解稳定性的方法.

    设常系数线性微分方程组的特征方程为

那末常系数线性微分方程组零解是渐近稳定的充分必要条件是:a0>0,且所有的胡尔威茨行列式

都是正的(最后的Δn>0可用条件an>0代替.

    如果Δn=0,那末由于Δn=anΔn-1=0,必有an=0或Δn-1=0.an=0,则特征方程有零根;若Δn-1=0,则特征方程有纯虚根,在这两种情况下,零解可能是稳定的也可能是不稳定的.

    特征方程是二次、三次和四次时的胡尔威茨判别条件(为作图方便,以下都取a0=1):

    (i)   特征方程:

    胡尔威茨条件为  a1>0, a2>0

    稳定区域见图13.4(a).

    (ii)  特征方程:

    胡尔威茨条件为 

    稳定区域见图13.4(b).

13.4

    (iii) 特征方程:

    胡尔威茨条件为  .

    [李雅普诺夫第二方法(直接方法)]  研究微分方程组

                   (1)

的平衡点的稳定性有一个比较一般的方法,即所谓李雅普诺夫方法.

    1°  李雅普诺夫稳定性定理  对于方程组(1),如果可以找到一个在原点邻域满足下列条件的可微函数V(x1,x2,,xn)(称为李雅普诺夫函数):

    (i)   V(x1,x2,,xn) 0(或≤0),且只在xi=0 (i=1,2,,n)时,V=0.

    (ii)  tt0时,V沿方程组(1)的积分曲线的全导数

( )

那末方程组(1)的平衡点xi=0 (i=1,2,,n)是稳定的.

    2°  李雅普诺夫渐近稳定性定理  对于方程组(1),如果可以找到一个在原点的邻域内满足下列条件的可微函数V(x1,x2,,xn)(称为李雅普诺夫函数):

    (i)   V(x1,x2,,xn)0(或≤0),且只在xi=0 (i=1,2,,n)时,V=0.

    (ii)  沿方程组(1)的积分曲线的全导数

( )

    而在原点某适当小的δ邻域外部(即 ),tt0时, (或 )那末方程组(1)的平衡点xi=0 (i=1,2,,n)是渐近稳定的.

      研究微分方程组

在平衡点x=0,y=0 的稳定性.

      这个方程组的一次近似方程的特征方程有两个纯虚根,因此是一临界情况,不能用一次近似方法研究.现用李雅普诺夫方法.

因为

    (i)  

    (ii) 

    对于任意的δ>0,当 ,t>t0时, .所以,平衡点(0,0)是渐近稳定的.

 

三、 极限圈(或极限环)

 

    这里只讨论n=2的情形.

    [周期解]  方程

T为周期的周期解是满足x(t+T)=x(t)y(t+T)=y(t)的解.周期解所对应的轨道是闭曲线.反过来,闭轨道对应于周期解.

    [极限圈]  孤立的周期解称为方程的极限圈.完整地说,就是:设 x=x(t),y=y(t)是方程的周期解,K是这个解在相平面上描出的闭曲线.如果存在正数ρ,使得对于相平面上任一与K距离小于ρ的点ζ,方程过点ζ的解就不是周期的,那末称x=x(t)y=y(t)(即闭轨道K)为孤立的周期解,或极限圈.

   

作坐标变换:x=rcos , y=rsin ,方程组化为

通解为

13.5

其中k,t0是任意的.t0=0,则方程组的解为

k=0时, 是圆周x2+y2=1;当k=c2  (c>0)时是一螺线,当t - 时,趋于原点,而当t 时,从内部盘旋逼近圆周x2+y2=1;当k=   (c>0)时,轨道是一曲线,当t logc+0时,趋向无穷,而当t 时,从外部盘旋逼近圆周x2+y2=1.

    轨道分布如图13.5.

    这时圆周x2+y2=1就是方程组的唯一极限圈.(0,0)是唯一的奇点.

    [极限圈存在性定理]  对于方程组

    1°  设在xy平面上有两个简单闭曲线C1C2, C2C1的内部,满足下面两个条件:

    (i)   C1上的点的矢量场由C1的外部指向内部,C2上的点的矢量场由C2的内部指向外部

    (ii)  C1C2所围成的环形区域中方程组没有奇点

那末在 C1C2所围成的环形区域中,一定存在稳定的极限圈(称为庞卡莱-班狄克生定理).

    2°  如果在某单连通区域G内, 不变号,并且在任何子区域D( G)内都不恒等于零,那末在G内,方程组没有任何闭轨道.��