§4  高阶微分方程与微分方程组

 

一、            高阶微分方程与微分方程组的互化

 

    已给一个n阶方程

y1=y,y2=y',y3=y",,yn=y(n-1),那末解上面n阶微分方程就相当于解下面n个一阶微分方程的方程组

式中y1,y2,,yn看作自变量xn个未知函数.

    反过来,在许多情况下,已给n个一阶微分方程的方程组也可以化为一个n阶微分方程.比如,两个一阶微分方程的方程组

                                                           (1)

将方程(1)x求导数

记作

                                                            (2)

从方程(1)中解出y2

代入方程(2)的右边,就得到一个二阶微分方程

这里函数 由函数f1f2所确定,因而是已知的.所以两个一阶微分方程组可以化为一个二阶微分方程.

 

二、   高阶微分方程的几种可积类型及其解法

 

    1.  y(n) = f(x)

    将方程写成

积分后得到

重复这一过程到积分n次,就得到微分方程的通解:

    2.  F(x,y(n) )=0

    1°  若能解出y(n),则方程化成类型1求解.

    2°  若不能解出y(n),或解出后表达式太复杂,就设法求它的参数形式的解:

    设函数 (t), (t)  ( <t< )满足

F( (t), (t))0

则原方程可写成参数形式

x= (t), y(n)= (t)

                                                       dy(n-1)= y(n)dx= (t) '(t)dt

                                               

又由                                             dy(n-2)=y(n-1)dx= 1(t,c1) '(t)dt

                                         

    最后得原方程的参数形式的通解

    3.  F(y(n-1), y(n)  )=0

    1°  若从方程可解出y(n):

y(n)=f(y(n-1))

则令y(n1)=z,上式化成

这是变量可分离的方程,设解为

z= (x,c1)

那末化成类型1

y(n-1)= (x,c1)

其通解为

    2°  若不能解出y(n),但原方程可写成参数形式:

y(n-1)= (t),  y(n)= (t)

则从                                                             dy(n-1)= y(n)dx

                                                     

按类型2的方法,可得通解(参数形式)

    4.  F(y(n-2), y(n)  )=0

    设方程可解出y(n)

y(n)=f(y(n-2))

z=y(n-2),方程两边乘以2z'化成

d(z'2)=2f(z)dz

积分后有

用分离变量法求得

z= (x,c1,c2)

那末                                                            y(n-2)= (x,c1,c2)

再积分n-2次就得原方程的通解.

 

三、            线性微分方程组

 

    1.  齐次线性微分方程组与非齐次线性微分方程组

    [齐次与非齐次]  线性微分方程组的一般形式为

                              (1)

式中aik(t)fi(t)   ( )都是自变量t的已知连续函数.如果至少有一个fi(t)不恒等于零,则称(1)为非齐次线性微分方程组.如果所有fi(t)都恒等于零,则称(1)为齐次线性微分方程组,它的一般形式是

                                    (2)

如果齐次线性微分方程组(2)与非齐次线性微分方程组(1)具有相同的系数(即对应的aik(t)都相同),就称(2)是非齐次线性微分方程组(1)的对应的齐次线性微分方程组.

    [解的存在定理]  如果线性微分方程组(1)的所有系数aik(t)和右端函数fi(t)在区间(t1,t2)内连续,那末方程组(1)在此区间的每一点t0(t1<t0<t2)都存在唯一满足初始条件(t0,y1(0),,yn(0))的解,而且这个解定义在整个区间(t1,t2).

    [解的基本结构]

    1°  齐次线性微分方程组的任意两个解的线性组合还是这个方程组的解.

    2°  n个未知函数的齐次线性微分方程组的通解可以表示成它的n个线性无关解的线性组合.

    3°  n个未知函数的非齐次线性微分方程组的通解可以表示成它的一个特解与它的对应的齐次线性微分方程组的通解的和.

    2.  常系数线性微分方程组

    微分方程组

                                  (3)

称为常系数线性微分方程组,式中aij是常数.fi(t)0 (i=1,2,,n),称(3)为齐次的,当fi(t)不全恒等于零,称(3)为非齐次的.

    [特征根与齐次方程组的线性无关解]

λn次代数方程,它称为非齐次线性微分方程组(3)所对应的齐次线性微分方程组的特征方程,特征方程的根称为特征根.

根据特征根的不同情形,给出齐次线性微分方程组线性无关解的不同形式.

 

特征根λ

线性无关解中相应的解的形式

  

λ是单实根

         ( j = 1, 2,,n )

Aj是待定常数

 

λr重实根

       ( j = 1, 2,,n )

Pj(t)是系数待定的次数不超过r-1次的多项式

λ=α±iβk重复根

                  ( j = 1, 2,,n )

Qj(t) Rj(t)是系数待定的次数不超过k-1次的多项式

 

    [用常数变易法求非齐次方程组的特解]  非齐次线性微分方程组(3)的一个特解,可由对应的齐次线性微分方程组的通解利用常数变易法求得.

    y11,y21,,yn1;y12,y22,,yn2;;y1n,y2n,,ynn是对应的齐次线性微分方程组的n个线性无关解.那末非齐次线性方程组的一个特解y1*,y2*,,yn*可由下列形式确定

式中ci(t)是待定函数,它们满足下列方程组:

从上面方程组解出 ,再积分就得出所要求的ci(t) (i=1,2,,n)

      求解微分方程组:

                                                        (1)

      先求对应的齐次线性微分方程组

                                                                 (2)

的通解.由特征方程

可知特征根为λ=5, .则相应的线性无关解是如下形式:

                          

分别代入齐次线性方程组(2),利用待定系数法,确定出

A1=c1 , A2=2c1 ,      c1 是任意常数)

B1=c2 , B2= ,      c2 是任意常数)

所以齐次线性方程组 (2)的通解为

          c1 ,c2 是任意常数)

    其次,利用常数变易法求非齐次线性方程组(1)的一个特解.c1 ,c2看成是t的函数,解下列方程组

积分后,取

于是所求方程组(1)的通解是

式中c1 ,c2为任意常数.

 

四、   常系数非齐次线性微分方程的算子解法与方程组的算子解法(消去法)

 

    [微分算子与逆算子] 

D,D2,,Dn为微分算子.一般地引进微分算子 a1,a2,,

an是常数)规定它的意义是

    还引进微分算子的逆算子,Dk的逆算子记为 ,规定它的意义是

       (k为正整数)

    P(D)的逆算子记为 ,它满足条件

注意, 的结果不是唯一的,而是一族函数.

    [微分算子的简单性质与运算公式]

 

微分算子

逆算子

1o  c1c2,…ck为常数,则

     P(D)[c1f1(t)+ c2f2(t)+

          + ckfk(t)]

   =c1P(D)f1(t)+ c2P(D)f2(t)+

          + ckP(D)fk(t)

                     (线性)

 

 

 

 

 

2o  PD= P1D)·P2D),则

P(D)f(t) = P1(D)[P2(D)f(t)]

       = P2(D)[P1(D)f(t)]

                     (交换律)

 

 

 

 

3o    P(D)eλt = eλtP(λ)

 

 

 

4o 

 

 

 

微分算子

c1c2,…ck为常数,则

                                                           (线性)

 

PD= P1D)·P2D),则

 

(交换律)

 

 

 

                      (P(λ)0)

 

 

逆算子

5o

 

 

 

 

6o 

(位移定理)

 

7o

(位移定理)

 

,

按以下方法求得:

P(D)(D的升幂排列),依一般的多项式除法规则去除1,在第k+1步得到的商,当商中得到k次多项式时,除法停止,k次多项式即Qk(D).

 

    上表中左栏各等式的意义是通常的,而右栏各等式的意义则是等号两边的函数族相同.

    [用算子解法求常系数非齐次线性微分方程的特解]

    1°  方程P(D)x=fk(t),其中fk(t)tk次多项式.

    分两种情形:

    (i)  P(0)0.依上表公式7°

 

    (ii)  P(0)=0.此时P(D)=Q(D)Dr(整数r1),而Q(0)0.依上表公式2°

    ,则

    2°  方程 fk(t)为常数时P(λ) .

依上表公式6° ,一个特解为

    3°  方程P(D)x=cos tfk(t)P(D)x=sin tfk(t).

    考虑辅助方程

    它与方程2°同类型,设它的一个特解是

那末方程                                               

有一特解

x(t)=x1(t)

而方程                                                   

有一特解

x(t)=x2(t)

 

    4°  方程P(D2)x= P(D2)x= .

    P( )0,则由上表公式4°5°

    P( )=0,则有正整数r和多项式Q(Q( )0)使

可按方程1° (ii)的方法处理.

    [用算子解法(消去法)求线性微分方程组的解]  消去法是解代数方程组的有效方法之一.引进微分算子 之后,同样适用于解线性微分方程组.下面用具体例子来说明这个方法.

    设已给线性微分方程组

应用微分算子,上面方程组可写成

把这个方程组看成两个未知数x1,x2的代数方程组.利用消去法,依次解出x1,x2.

先解(1'),为此先求其对应的齐次方程

的通解.特征根为

λ1=1,λ2=i,λ3=

所以齐次方程的通解为

     ( 为任意常数)

再用算子解法,求方程(1')的一个特解

由前表公式7°

由前表公式3°

得到方程(1')的特解

最后得出方程(1')的通解

为求出x2 (t)(1)(2)

x1(t)代入即得