§ 2 正交多项式

 

一、        勒让德多项式

 

[勒让德多项式的母函数] 由函数 展开:

     

来定义勒让德多项式序列

    函数 称为 的生成函数或母函数.

    [勒让德多项式的表达式]

          

                            

                                     

                        

                            

           

           

        ······················     ··································

                       (末菲表达式)

   

   

   

[勒让德微分方程]

   

[勒让德多项式的正交性]

     

[不等式与特殊值]

                                            

            

                  

   

            

[递推公式与导数公式]

          (递推关系)

   

   

   

   

 

二、        第一类契贝谢夫多项式

 

[第一类契贝谢夫多项式的母函数]  由母函数 展开:

          

来定义第一类契贝谢夫多项式序列 .

    [第一类契贝谢夫多项式的表达式]

       

                   

                   

       

                                     

                                     

                             

                           

                     

                

        ···················     ·················

    [第一类契贝谢夫微分方程]

       

    [第一类契贝谢夫多项式的正交性]

       

    [不等式与特殊值]

                                        

             

    [递推公式与导数公式]

                         (递推公式)

       

                              

 

三、        第二类契贝谢夫多项式

 

[第二类契贝谢夫多项式的母函数] 由母函数 展开:

           

来定义第二类契贝谢夫多项式序列 .

[第二类契贝谢夫多项式的表达式]

   

            

            

   

   

   

   

   

   

   

    ………………………

[第二类契贝谢夫微分方程]

   

[第二类契贝谢夫多项式的正交性]

   

[不等式与特殊值]

                        

       

[递推公式与有关公式]

           (递推公式)

   

   

   

   

 

四、        拉盖尔多项式

 

1.        一般拉盖尔多项式

[一般拉盖尔多项式的母函数] 由母函数 展开:

              

来定义一般拉盖尔多项式序列 .

[一般拉盖尔多项式的表达式]

   

         

         

      

   

   

式中 为库默尔函数, 阶贝塞耳函数。特别

                    

[一般拉盖尔微分方程]

   

[一般拉盖尔多项式的正交性]

   

[不等式与特殊值]

   

   

[递推公式与有关公式]

        (递推公式)

   

   

               

   

   

   

   

式中 是埃尔米特多项式。

2.          拉盖尔多项式

一般拉盖尔多项式中,当 时,定义

                                       

为拉盖尔多项式.它的相应公式为

              (母函数展开)

             

             

       

       

       

       

       

        ········································

                     (拉盖尔微分方程)

                               (正交性)

               

                       (递推公式)

 

五、        埃尔米特多项式

 

[埃尔米特多项式的母函数] 由母函数 展开:

                    

来定义埃尔米特多项式序列 .

[埃尔米特多项式的表达式]

   

   

        ·······················

   

   

式中 为库默尔函数.

       

[埃尔米特多项式的渐近表达式]

           

       

       

       

             

[埃尔米特微分方程]

                 

   [埃尔米特多项式的正交性]

                 

   [不等式与特殊值]

       

          

               

       

                   

    [递推公式与有关公式]

                        (递推公式)

       

             

    [带权的埃尔米特多项式]  是以 为权函数的埃尔米特多项式,

其表达式为

       

    的关系为

                                 

 

六、        雅可比多项式

 

[雅可比多项式的母函数] 由母函数 展开(其中 ):

       

来定义雅可比多项式序列 .

[雅可比多项式的表达式]

   

           

   

             

式中F为超几何函数。

    [雅可比微分方程]

            

    [雅可比多项式的正交性]

       

                           

    [不等式与特殊值]

       

式中 是最靠近点 的两个极大值点之一.

                  

                           

[递推公式与有关公式]

   

      

            

                                                                                 (递推公式)

   

 

七、        盖根堡多项式

 

[盖根堡多项式的母函数]  由母函数 的展开式

        

来定义盖根堡多项式序列 又称为特种球多项式.

[盖根堡多项式的表达式]

    

          

          

       

               

                                          

式中 为超几何函数.

       

        ······················································

[盖根堡微分方程]

   

[盖根堡多项式的正交性]

   

[不等式与特殊值]

                                  

                不为整数)

   

                                   不为整数,且

   

   

   

[递推公式与有关公式]

         (递推公式)