§5  快速傅立叶变换

 

一、         有限离散傅立叶变换

 

[有限离散傅立叶变换的不同形式]

 

实(或复)序列

f ( kh )

有限离散傅立叶变换及其反演公式

hd

( N为正整数)

( N为正整数)

( k, N为整数)

 

    [褶积及其性质]  为实(或复)序列g (kh) 为具有周期Nh的序列,称

                    

为序列fg的褶积.

                      

                                

那末                    

                      

 

二、     快速傅立叶变换算法

 

    快速傅立叶变换算法(简称FFT算法)是计算有限离散傅立叶变换的快速方法.

    [复序列的FFT算法]  计算复序列{zk} 的有限离散傅立叶变换 ,就是计算形如

                       

的有限项和.对于反演公式,计算的方法类似.

    N=2m,  , 那末

                           

又设                 

                     

分别是kj的二进制表示, 取值为01 .那末

             

因为    =

                       =

                       =

所以

   

从而得出递推公式:

                  

                

                

                

                  

                

                

最后有

                

[实序列的FFT算法]   设有2N (N=2m)个元素构成的实序列 要计算 的有限离散傅立叶余弦变换和正弦变换

                      

                      

可先用FFT算法关于复序列

                  zk=xk+iyk         

计算

                      

cj , sj 用下列公式去求

  

至于cj , sj 的数值是