§2 广义傅立叶级数与傅立叶-贝塞耳级数

 

一、 广义傅立叶级数

 

如果连续函数系

                                               1

在某区间 上正交,又如果函数 上绝对可积,那末以

                      

为系数的级数

                         

称为函数 关于正交函数系( 1 )的广义傅立叶级数,记作

                      f ( x )

称为 关于正交函数系( 1 )的傅立叶系数.

    不妨设( 1 )是标准正交函数系,即满足

                           

那末

                        

这时,关于 ,有贝塞耳不等式

                            ( 是平方可积函数  

如果对于任意的平方可积函数,封闭性方程

                       

成立,就称这时的正交函数系 是封闭的.

 

二、 傅立叶-贝塞耳级数

 

    [傅立叶-贝塞耳级数]

1o  是贝塞耳函数 (见第十二章)的正根,那末函数系

[0, 1]上按权x正交,即

    2o  对于一切在[0, 1]上绝对可积的函数 ,可作它的傅立叶-贝塞耳级数

f ( x )

式中       

称为函数 的傅立叶-贝塞耳系数.

    3o  如果 [0, 1]上除有有限个第一类间断点外处处连续并且逐段可微,那末当 时,它的傅立叶�C贝塞耳级数收敛,在连续点处,级数和等于 ,在间断点处,级数和等于

如果 [01]上绝对可积,在区间 上连续并且有绝对可积的导数,那末它的傅立叶—贝塞耳级数 在每一区间 上一致收敛;

如果 [01]上绝对可积,在区间 上连续并且有绝对可积的导数,同时 ,那末它的傅立叶-贝塞耳级数 在每一区间 上一致收敛.

[第二类傅立叶-贝塞耳级数]

1o 

                                  H是常数)

的正根,那末,当 时,函数系

                  

[0, 1]上按权x正交.

    如果 [01]上绝对可积,那末它关于上面正交系的广义傅立叶级数称为 的第二类傅立叶-贝塞耳级数,即

                      

式中        

            

    2o  如果函数 [0, 1]上逐段可微(至多有有限个第一类间断点),那末它的第二类傅立叶-贝塞耳级数 0<x<1上收敛,并在连续点处等于 ,在间断点处等于

如果函数 [01]上连续,两次可微(除有限个点外),且 =0, , 有界,那末它的第二类傅立叶-贝塞耳级数当 时,在每个区间[ ,1] (0< <1)上绝对且一致收敛;又当 时,在整个区间[01]上绝对且一致收敛.

    [区间[0,l]上的傅立叶-贝塞耳级数]

    [0,l]上绝对可积,那末它的傅立叶-贝塞耳级数是

                                       f ( x )

式中                         

对于第二类傅立叶-贝塞耳级数,

           

关于级数的收敛性,可通过作变换 , ,只讨论 [01]上相应的傅立叶-贝塞耳级数的收敛性就可以了.