§4  泰勒级数·罗朗级数·留数定理

 

一、 泰勒级数与罗朗级数

 

   1.泰勒级数

   [泰勒级数展开定理] 设函数 在圆 )内解析,那末 在圆内可以展成泰勒级数

                    

式中

                   

其中 是以 为圆心,以 )为半径的圆周.这个展开式是唯一的.

    复变函数的泰勒级数展开式表与实变函数的幂级数展开式表(第五章§3,九)相类似,只要把实变量 换成复变量 就可以了.

    [复平面内的幂级数的收敛性] 如果幂级数

                      

在圆 内绝对收敛,而在圆外发散,那末称 为级数的收敛圆, 为收敛半径,并且

                       

或者

                       

   [阿贝耳定理] 对于每个幂级数

                 

存在一个收敛半径 )具有下列性质:

    1o  对于 内每点 ,级数绝对收敛.在每一闭圆 )上,级数一致收敛.

    2o  ,级数发散.

    3o  内,级数的和是一解析函数.

    由性质3o和泰勒级数展开定理可知,复变函数在一点 解析和在点 的邻域内可以展开为幂级数是等价的.

   [运算规则] 在公共的收敛圆 内,有下列运算规则:

        

        

                                   

         

          

                                         是任意复数)

    2.罗朗级数展开定理

    如果函数 在环形区域 )内解析,那末 在环形区域内可展开为罗朗级数

                 

式中

                         

是任一圆周 ),函数的罗朗级数在环形区域 内的任意一个闭区域上一致收敛.

    级数 称为罗朗展开的正则部分,

    级数 称为罗朗展开的主要部分.

    如果级数 在环形区域 内收敛,那末级数的和 在这个区域内解析,并且这个级数就是 的罗朗级数.因此圆环上解析函数的罗朗展开式是唯一的.

    3.解析函数的局部性质

    [解析函数的零点] 解析,并且 ,则称 的零点. ,则称 阶零点.

    解析函数 的零点是孤立的,也就是说,如果 的零点,并且不是 ,那末一定有一正数 ,使得 在圆 内除 外无其他零点.

   [解析函数的唯一性定理] 设函数 在区域 内解析, 的内点列 )有一极限点 属于 ,如果

                     

那末在区域

              

这个性质表明区域 内的解析函数由 内任一收敛于 的内点的点列上的数值完全决定.

   [孤立奇点(可去奇点·极点·本性奇点)]  如果函数 的一个邻域 内除 外解析,称 是函数 的一个孤立奇点.孤立奇点分三类:

   1o  为有限数), 称为 的可去奇点. 的可去奇点的充分必要条件是: 的邻域里*的罗朗级数不含主要部分,或者是 的邻域里有界.

   2o  称为 的极点. 的极点的充分必要条件是: 的邻域里的罗朗级数的主要部分只含有限多项,即

               

如果主要部分中 的负次幂最高的是 ,那末称 阶极点.

   3o  不存在, 称为 的本性奇点. 是函数 的本性奇点的充分必要条件是: 的邻域里的罗朗级数中主要部分有无限多项.

如果 是函数f(z)的本性奇点,那末对任意复数A,都存在一点列 ,使得

                         

[泰勒定理] 如果函数 在区域 内解析,那末对于 内一点 ,有

其中余项的形式是

                 

C是以 为圆心的圆周( 的内部在 内).

泰勒定理是讲解析函数的有限展开式,而泰勒级数展开定理(§4,一,1)是无穷级数形式.对于研究解析函数的局部性质来说,有用的还是这里的有限展开式.

    [解析函数在无穷远点的性质]

    1o  无穷远点的邻域以原点为中心, 为半径的圆的外部所有的点是无穷远点的一个邻域.

    2o  无穷远点是 的孤立奇点  . 的可去奇点,则称 的可去奇点;若 阶极点,则称 阶极点;若 的本性奇点,则称 的本性奇点.

    3o  函数 在无穷远点的罗朗级数 设 的邻域内的罗朗级数是

             

,得到 的邻域内的罗朗级数

                       

    所以,当 的可去奇点时, 的罗朗级数中不含 的正次幂;当 阶极点时, 的罗朗级数中,只有有限项 的正次幂,并且 )是最后一个不等于零的系数;当 的本性奇点时, 的罗朗级数中,有无限多项 的正次幂.

    4o  函数 在无穷远点是孤立奇点的性质  的可去奇点时,函数的模在无穷远点的某一邻域里有界;当 阶极点时,函数的模在无穷远点的任一邻域里无界;当 的本性奇点时,对任意复数 ,都存在点列 ,使得 .

    5o  无穷远点是 的零点 的罗朗级数中不含 的正次幂,而且 。若 ,而 ),则称无穷远点是 阶零点.

    4.单值解析函数的分类

    在全平面(不包括 )无奇点的函数称为整函数(全纯函数).

    在全平面(不包括 )除了极点外无其它奇点的函数称为分式函数(半纯函数或亚纯函数)

    5.半纯函数的部分分式表达式

                     

                     

                     

                      

                     

                     

                     

                  

 

二、        留数定理及其应用

 

    [留数的定义] 设点 是函数 的孤立奇点, 是圆周 ,称积分

                          

的数值为函数 在孤立奇点 处的留数(残数),记作 ,这里 为适当小的正数(使圆内无 的其它奇点),留数值与 的取值无关.

    函数 在一个孤立奇点 处的留数等于 在点 的邻域内的罗朗展开式中负一次幂的系数,即

                          

    [孤立奇点的留数计算法则]

    1o  函数在可去奇点的留数等于零.

    2o  的一阶极点,则

                    

    3o  阶极点,则

                  

    4o  设分式函数 在点 解析, 的一阶零点,而 ,则

             的导数)

    5o  的孤立奇点, 表示半径足够大的圆周 (使圆周外部无 的其他奇点),称积分

               

的数值为 的留数(其中 是取顺时针方向),记作 ,所以

               

[留数定理] 如果函数 在简单闭曲线 的内部 内除了有限个奇点 外解析,并且在 上除了 外连续,那末

                        

[辐角原理] 如果函数 在简单闭曲线 的内部 内除了有限个阶数分别是 的极点 外解析,在 上除了点 外连续,在 上没有零点与极点,而在 内有阶数分别是 的零点 ,那末

               

其中 表示点 沿曲线 移动一圈后 的辐角改变量. 是曲线 在映射 下的象,则 称为曲线 的回转次数.

    [儒歇定理] 如果函数 在简单闭曲线 的内部 解析,且在

                          

那末在 的内部, 有相同的零点个数,即

                  

    [利用留数定理计算定积分]

    1o  计算积分

    如果 除在实轴的上侧有有限多个孤立奇点 外,在包括实轴在内的上半平面上处处是解析的,同时假设 的至少二阶的零点,或者

                 为常数)

那末可按照下列步骤计算积分 (图10.12):

(1)        作辅助函数 ,在实轴上

                

(2)        作附加积分路线 ,使它和 合起来变成一条包含 的所有奇点 的闭曲线 ,则

                    

(3)        求出 在上半平面的各奇点的留数总和,应用留数定理,有

                    

(4)        ,根据假设, ,那末

               

例1           计算

       

(1)   作辅助函数 .

(2)   作附加积分线路 :以原点为中心,半径 充分大的上半圆周(图10.13.

(3)   在上半平面只有一个极点 ,其留数为

                   

4         

所以

                 

     2o  计算积分       

    是有理函数,并且分母的次数 分子的次数 .

    计算的基本步骤和上面一样,它的辅助函数是 ,附加积分路线和积分闭曲线 分下面两种情况:

(a)  如果 在实轴上有有限多个一阶极点,积分闭曲线 (在极点处,以各极点为圆心, 为半径在下半平面作半圆,为正向)见图10.14a*,那末

这里的广义积分是柯西主值,其定义见第六章§1,五.

 

(b)  如果 在实轴上没有奇

点,积分闭曲线见图10.14b.

              

例2     计算积分

         作辅助函数 ,它只有实轴上的两个奇点 ,所以由(a

           

 

例3     计算积分

      解 (1)作辅助函数 .

2)作附加积分线路 合起来变成一条包含奇点 的闭曲线 (图10.15),则

      

     3)在 曲线内函数 只有一个二阶极点 ,根据孤立奇点的留数计算法则3o,得到 的留数,则

             

      4)可以证明当 时,积分 ,于是得

                    

上式两边实部相等,所以

                 

 



* 凡是在一点 的邻域里谈到罗朗级数,这个邻域就是指 为某个正数.

* 实轴上的这些半径为 的半圆也可取在上半平面(为负向).这是因为,容易验证,在这里所述条件下,以负向沿半圆求积,当 时,其积分趋于该极点的留数与 的乘积.