§4  泰勒级数·罗朗级数·留数定理

 

一、 泰勒级数与罗朗级数

 

   1.泰勒级数

   [泰勒级数展开定理] 设函数 在圆 （ ）内解析，那末 在圆内可以展成泰勒级数

                    

式中

                   

其中 是以 为圆心，以 （ ）为半径的圆周.这个展开式是唯一的.

    复变函数的泰勒级数展开式表与实变函数的幂级数展开式表（第五章§3，九）相类似，只要把实变量 换成复变量 就可以了.

    [复平面内的幂级数的收敛性] 如果幂级数

                      

在圆 内绝对收敛，而在圆外发散，那末称 为级数的收敛圆， 为收敛半径，并且

                       

或者

                       

   [阿贝耳定理] 对于每个幂级数

                 

存在一个收敛半径 （ ）具有下列性质：

    1o  对于 内每点 ，级数绝对收敛.在每一闭圆 （ ）上，级数一致收敛.

    2o  ,级数发散.

    3o  在 内，级数的和是一解析函数.

    由性质3o和泰勒级数展开定理可知，复变函数在一点 解析和在点 的邻域内可以展开为幂级数是等价的.

   [运算规则] 在公共的收敛圆 内，有下列运算规则：

        

        

                                   （ ）

         

          

                                         （ 是任意复数）

    2.罗朗级数展开定理

    如果函数 在环形区域 （ ， ）内解析，那末 在环形区域内可展开为罗朗级数

                 

式中

                  ，       

是任一圆周 （ ），函数的罗朗级数在环形区域 内的任意一个闭区域上一致收敛.

    级数 称为罗朗展开的正则部分，

    级数 称为罗朗展开的主要部分.

    如果级数 在环形区域 内收敛，那末级数的和 在这个区域内解析，并且这个级数就是 的罗朗级数.因此圆环上解析函数的罗朗展开式是唯一的.

    3.解析函数的局部性质

    [解析函数的零点] 设 在 解析，并且 ，则称 为 的零点.若 而 ，则称 为 的 阶零点.

    解析函数 的零点是孤立的，也就是说，如果 是 的零点，并且不是 ，那末一定有一正数 ，使得 在圆 内除 外无其他零点.

   [解析函数的唯一性定理] 设函数 和 在区域 内解析， 的内点列 （ ）有一极限点 属于 ，如果

               ，      

那末在区域 内

              

这个性质表明区域 内的解析函数由 内任一收敛于 的内点的点列上的数值完全决定.

   [孤立奇点（可去奇点·极点·本性奇点）]  如果函数 在 的一个邻域 内除 外解析，称 是函数 的一个孤立奇点.孤立奇点分三类：

   1o  当 （ 为有限数）， 称为 的可去奇点. 是 的可去奇点的充分必要条件是： 在 的邻域里*的罗朗级数不含主要部分，或者是 在 的邻域里有界.

   2o  当 ， 称为 的极点. 是 的极点的充分必要条件是： 在 的邻域里的罗朗级数的主要部分只含有限多项，即

               

如果主要部分中 的负次幂最高的是 ，那末称 为 的 阶极点.

   3o  当 不存在， 称为 的本性奇点. 是函数 的本性奇点的充分必要条件是： 在 的邻域里的罗朗级数中主要部分有无限多项.

如果 是函数f(z)的本性奇点，那末对任意复数A,都存在一点列 ， ,使得

                         

[泰勒定理] 如果函数 在区域 内解析，那末对于 内一点 ，有

其中余项的形式是

                 

C是以 为圆心的圆周（ 的内部在 内）.

泰勒定理是讲解析函数的有限展开式，而泰勒级数展开定理（§4，一，1）是无穷级数形式.对于研究解析函数的局部性质来说，有用的还是这里的有限展开式.

    [解析函数在无穷远点的性质]

    1o  无穷远点的邻域以原点为中心， 为半径的圆的外部所有的点是无穷远点的一个邻域.

    2o  无穷远点是 的孤立奇点  设 .若 是 的可去奇点，则称 为 的可去奇点；若 是 的 阶极点，则称 为 的 阶极点；若 是 的本性奇点，则称 为 的本性奇点.

    3o  函数 在无穷远点的罗朗级数 设 在 的邻域内的罗朗级数是

             

令 ，得到 在 的邻域内的罗朗级数

              ，          ）

    所以，当 是 的可去奇点时， 的罗朗级数中不含 的正次幂；当 是 的 阶极点时， 的罗朗级数中，只有有限项 的正次幂，并且 （ ）是最后一个不等于零的系数；当 是 的本性奇点时， 的罗朗级数中，有无限多项 的正次幂.

    4o  函数 在无穷远点是孤立奇点的性质  当 是 的可去奇点时，函数的模在无穷远点的某一邻域里有界；当 是 的 阶极点时，函数的模在无穷远点的任一邻域里无界；当 是 的本性奇点时，对任意复数 ，都存在点列 ， ，使得 .

    5o  无穷远点是 的零点 的罗朗级数中不含 的正次幂，而且 。若 ，而 （ ），则称无穷远点是 的 阶零点.

    4.单值解析函数的分类

    在全平面（不包括 ）无奇点的函数称为整函数（全纯函数）.

    在全平面（不包括 ）除了极点外无其它奇点的函数称为分式函数（半纯函数或亚纯函数）

    5.半纯函数的部分分式表达式

                     

                     

                     

                      

                     

                     

                     

                  

 

二、        留数定理及其应用

 

    [留数的定义] 设点 是函数 的孤立奇点， 是圆周 ，称积分

                          

的数值为函数 在孤立奇点 处的留数（残数），记作 ，这里 为适当小的正数（使圆内无 的其它奇点），留数值与 的取值无关.

    函数 在一个孤立奇点 处的留数等于 在点 的邻域内的罗朗展开式中负一次幂的系数，即

                          

    [孤立奇点的留数计算法则]

    1o  函数在可去奇点的留数等于零.

    2o  设 是 的一阶极点，则

                    

    3o  设 是 的 阶极点，则

                  

    4o  设分式函数 ， 和 在点 解析， 是 的一阶零点，而 ，则

            （ 为 在 的导数）

    5o  设 是 的孤立奇点， 表示半径足够大的圆周 （使圆周外部无 的其他奇点），称积分

               

的数值为 在 的留数（其中 是取顺时针方向），记作 ，所以

               

[留数定理] 如果函数 在简单闭曲线 的内部 内除了有限个奇点 外解析，并且在 上除了 外连续，那末

                        

[辐角原理] 如果函数 在简单闭曲线 的内部 内除了有限个阶数分别是 的极点 外解析，在 上除了点 外连续，在 上没有零点与极点，而在 内有阶数分别是 的零点 ，那末

               

其中 表示点 沿曲线 移动一圈后 的辐角改变量.设 是曲线 在映射 下的象，则 称为曲线 的回转次数.

    [儒歇定理] 如果函数 与 在简单闭曲线 及 的内部 解析，且在 上

                     ，     

那末在 的内部， 和 有相同的零点个数，即

                  

    [利用留数定理计算定积分]

    1o  计算积分

    如果 除在实轴的上侧有有限多个孤立奇点 外，在包括实轴在内的上半平面上处处是解析的，同时假设 是 的至少二阶的零点，或者

                （ ， 为常数）

那末可按照下列步骤计算积分 （图10.12）：

（1）        作辅助函数 ，在实轴上

                

（2）        作附加积分路线 ，使它和 合起来变成一条包含 的所有奇点 的闭曲线 ，则

                    

（3）        求出 在上半平面的各奇点的留数总和，应用留数定理，有

                    

（4）        令 ，根据假设， ，那末

               

例1           计算

     解  

（1）   作辅助函数 .

（2）   作附加积分线路 ：以原点为中心，半径 充分大的上半圆周（图10.13）.

（3）   在上半平面只有一个极点 ，其留数为

                   

（4）         

所以

                 

     2o  计算积分       （ ）

    设 是有理函数，并且分母的次数 分子的次数 （ ）.

    计算的基本步骤和上面一样，它的辅助函数是 ，附加积分路线和积分闭曲线 分下面两种情况：

（a）  如果 在实轴上有有限多个一阶极点，积分闭曲线 （在极点处，以各极点为圆心， 为半径在下半平面作半圆，为正向）见图10.14（a）*，那末

这里的广义积分是柯西主值，其定义见第六章§1，五.

 

（b）  如果 在实轴上没有奇

点，积分闭曲线见图10.14（b）.

              

例2     计算积分 （ ）

      解   作辅助函数 ，它只有实轴上的两个奇点 ， ，所以由（a）

           

 

例3     计算积分

      解 （1）作辅助函数 .

（2）作附加积分线路 和 与 ， 合起来变成一条包含奇点 的闭曲线 （图10.15），则

      

     （3）在 曲线内函数 只有一个二阶极点 ，根据孤立奇点的留数计算法则3o，得到 处 的留数，则

             

      （4）可以证明当 ， 时，积分 ， ，于是得

                    

上式两边实部相等，所以

                 

 


* 凡是在一点 的邻域里谈到罗朗级数，这个邻域就是指 ， 为某个正数.

* 实轴上的这些半径为 的半圆也可取在上半平面（为负向）.这是因为，容易验证，在这里所述条件下，以负向沿半圆求积，当 时，其积分趋于该极点的留数与 的乘积.