§2   保角映射

 

一、 保角映射及其性质

 

    [保角映射及其充分必要条件] 如果在区域 内任一点 的邻域里函数 的映射满足条件:(i)伸缩性不变(§1,一),(ii)旋转角不变,并保持角的定向(§1,一),那末称函数 的映射是区域 内的保角映射(保角变换).

    在区域 内是保角映射的充分必要条件是: 内解析且导数 内处处不等于零.

    [区域D内保角映射 的性质]

    1o   D内任一无穷小圆周的象在相差一个高阶无穷小的程度内是圆周.

    2o   D内两曲线的夹角映射后保持不变(保角性).

    3o   D内任一区域(包括D自身)的象是区域.

    4o   D内任一点, 不能达到极大值,也不能达到极小值.

5o   D内任一点z,都各有一邻域,在这邻域里, 是单叶的.

 

二、 分式线性映射及其性质

 

    分式线性函数

                    

所实现的映射称为分式线性映射(分式线性变换).它的逆映射

                    

也是一个分式线性映射.规定 分别对应 ,当c=0时,规定 对应 ,那末分式线性映射确定了一个扩充 平面与扩充 平面之间的一个一对一的对应关系.同时,除了点 是一阶极点外,在扩充平面上处处解析.

    反过来,如果函数 在扩充 平面上单叶,并且除了一点 (这一点是函数的一阶极点)外处处解析,那末 必是分式线性函数.

    分式线性映射具有性质:

    1o  在扩充平面上处处有保角性(通过 处两直线的夹角定义为两直线经变换 后的两曲线在 处的夹角).

    2o  在分式线性变换下,圆周仍变为圆周(直线当作半径无限大的圆周).

    3o  关于圆或直线的对称点(见§2,三的脚注)映射后的象保持对称性.

    4o  存在唯一的分式线性映射把 平面上的任意三点 分别映射到 平面上的 任意三点 ,这样的分式线性映射是

                     

    5o  扩充 平面上的任意一个圆,都可以找到一个分式线性映射将它映射到扩充 平面上的任意一个圆.

6o  在分式线性映射下,四点 的交比保持不变( 的交比是 .注意,四点共圆(或共线)的充分必要条件是它们的交比为实数.

 

三、简单分式线性映射

 

图形

说明

[平移映射]

 

      平面               平面

  映射

            是复常数)

把图形平移一个复数

[伸缩与旋转映射]

 

      平面               平面

  映射

      

把模以原点为中心伸缩 倍,再绕原点 旋转一个角度

[反演映射]

 

      平面               平面

  映射   

把单位圆内(外)一点映射到圆外(内)一点(这两点同在一条过原点的射线上,而且它们的模互为倒数)而后再把这个象点映射到它关于实轴的对称点上.

  是不动点

[上半平面到上半平面(或下半平面)的映射]

 

      平面                平面

             

 

      平面               平面

             

 

 

 

  映射

   i)当 都是实数时, 平面的实轴 映射成 平面的实轴

 ii)当 时,把上半 平面 映射到上半 平面 (图( )).

 iii)当 时,把上半 平面 映射到下半 平面 (图(b)).

图形

说明

 

[上半平面到单位圆内的映射]

映射到

       

    平面               平面

  映射 是实数, )把给定的上半平面的一点 映射到单位圆的圆心,点 映射到 .

  与单位圆 内的半径束相对应的是通过点 的那族圆周的弧(落在上半平面的);与以 为圆心的那族同心圆周相对应的是使 成一对对称点*的一族圆周

[单位圆内到单位圆内的映射]

(圆 内一点 映射到

 

    平面               平面

  映射   是实数,

 把已知圆 内一点 映射到圆 的圆心 ,把 点关于单位圆周的对称点 映射到 关于单位圆的对称点 ,互相对应的曲线标在图中

 

四、对称原理与多边形映射

 

    [对称原理]  平面上关于它们公共边界 (一段圆弧)对称的两个区域,而 平面上关于它们公共边界 (一段圆弧)对称的两个区域.

    如果函数 满足下列条件:(i 保角映射到 ;(ii 上连续,将 单叶映射到 .那末存在一个函数 具有性质:

    1o  把区域 保角映射到区域 .

    2o    内, .

    3o  将区域 内关于 对称的两点映射到区域 内关于 对称的两点.

    [多边形映射]  多边形映射是把半平面映射到一个多边形的映射.

    平面实轴上有 个点 平面上一 边形,顶点是 ,在点 处的顶角是 ,那末施瓦兹-克里斯托弗尔积分

                   

是三个常数)把 平面的上半平面映射到已给 边形内部, 平面实轴上的 个点 分别映射到 平面的 边形的 个顶点 (图10.4.

    如果 平面的无穷远点(设 )与 边形一个顶点(设 )对应,那末映射简化成

                 

       求矩形映射把 平面的上半平面 映射到 平面上的一个矩形 的内部(图10.5.

   首先考虑 平面的第一象限映射到矩形内部的右半部分 .同时让 的原象记为 .把这个映射关于 轴的正半轴应用对称原理,就有 ,同时根据施瓦兹-克里斯托弗尔积分,所求的映射就是

             

由于 ,所以 ,又由于 .所以

                                                  (1)

          

                                                   (2)

       常数 已知,适当选择矩形的长和宽(即 ),使(1)、(2)式中的常数 .

                      

这是第一类椭圆积分(第十二章§1,十).

 

五、保角映射的存在唯一性定理(黎曼定理)

 

除去两个例外(扩充平面或扩充平面除去一点),对单连通区域有下面的保角映射的存在唯一性定理:

平面上单连通区域 (不包含 )的边界点不止一个,那末在 上存在唯一的单叶解析函数 单叶保角映射到单位圆内部 ,同时满足

(i)

(ii) 是一常数 .



*  关于圆周 对称,是指这两点都在同一条过点 的射线上,并且满足等式