十、椭圆积分

[椭圆积分] 形为

                   

的有理函数,的三次或四次多项式)的积分,称为椭圆积分,它可化为一些能用初等函数表示的积分.

[勒让德椭圆积分]

        
        
        

这三个积分分别称为勒让德第一类、第二类、第三类椭圆积分.数称为这些积分的模数,数称为补模数,数称为第三类积分的参数.

[外尔斯特拉斯椭圆积分]

    
    
    

这三个积分分别称为外尔斯特拉斯第一类、第二类、第三类椭圆积分.

[完全椭圆积分]

            
                
      

这三个积分分别称为第一类、第二类、第三类完全椭圆积分.又定义

                      
                       

[椭圆积分的级数表达式]

        +
                                 
        
                               
        
        

式中 为超几何级数.

[椭圆积分有关公式]

                    为整数)

                     为整数)

                      (勒让德关系式)

    
    

[椭圆积分替换公式表]

[完全椭圆积分替换公式表]

[可化为椭圆积分的积分]

       

                        (设)

                              (设)

                              (设)

            (设)

                         (设

           (设

                (设)

     (设

     (设

   

                               (设

           (设

          (设

                 (设

      (设